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1、matlab 超定方程 最小二乘解 2011-04-09 06:36:47| 分类： 学习 | 标签：超定方程 最小二乘 |字号 订阅根据解的存在情况，线性方程可以分为:有唯一解的恰定方程组， 解不存在的超定方程组， 有无穷多解的欠定方程组。对于方程组 Ax=b，A 为 nm 矩阵，如果 A 列满秩，且 nm。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数 据的曲线拟合。对于超定方程，在 MATLAB 中，利用左除命令（x=Ab）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即 x=pinv(A),所得的解 不一定满足 Ax=b，x 只是最小二乘意义上的解。左除的方
2、法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行 householder 变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程，称为超定方程，在 matlab 里面有三种方法求解，一是用伪逆法求解，x=pinv(A)*b,二是用左除法求解，x=Ab,三是用最小二乘法求解,x=lsqnonneg(A,b)(3)矩阵求逆行数和列数相等的矩阵称为方阵，只有方阵有逆矩阵。方阵的求逆函数为：B=inv(A)该函数返回方阵 A 的逆阵。如果 A 不是方阵或接近奇异的，则会给出警告信息。在实际应用中，很少显式的使用矩阵的逆。
3、在 MATLAB 中不是使用逆阵 x=inv(A)*B 来求线性方程组 Ax=B 的解，而是使用矩阵除法运算 x=AB 来求解。因为 MATLAB 设计求逆函数 inv 时，采用的是高斯消去法，而设计除法解线性方程组时，并不求逆，而是直接采用高斯消去法求解，有效的减小了残差，并提高了求解的速度。因此，MATLAB 推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。(4)除法运算在线性代数中，只有矩阵的逆的定义，而没有矩阵除法的运算。而在 MATLAB 中，定义了矩阵的除法运算。矩阵除法的运算在 MATLAB 中是一个十分有用的运算。根据实际问题的需要，定义了两种除法命令：左除和右除。矩阵左除：C=AB 或
4、C=mldivide(A,B)矩阵右除；C=A/B 或 C=mrdivide(A,B)通常矩阵左除不等于右除，如果 A 是方阵，AB 等效于 A 的逆阵左乘矩阵 B。也就是 inv(A)*B。如果 A 是一个 n*n 矩阵，B 是一个 n 维列向量，或是有若干这样的列的矩阵，则 AB 就是采用高斯消去法求得的方程 AX=B 的解。如果 A 接近奇异的，MATLAB 将会给出警告信息。如果 A 是一个 m*n 矩阵，其中 m 不等于 n，B 是一个 m 维列向量，或是由若干这样的列的矩阵，则 X=AB 是不定或超定方程组 AX=B 的最小二乘解。通过 QR 分解确定矩阵 A 的秩 k，方程组的解
5、 X 每一列最多只有 k 个非零元素。如果 kN, B-N*1;X=AB;B/A 大体等效于 B*inv(A) (B 右乘 A 的逆阵)，但在计算方法上存在差异，更精确的，B/A=(ATBT)T。输入：A=1 2 3;4 5 7;4 7 9;B=1 3 7;3 5 7;8 5 1;矩阵左除。输入：AB显示：ans =-0.7500 -0.5000 -2.00005.7500 -3.5000 -18.0000-3.2500 3.5000 15.0000矩阵右除。输入：A/B显示：ans =-0.0217 0.4565 -0.04350.6522 0.3043 0.3043-0.5652 1.8696 -0.1304
