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1、226第八部分第八部分立体几何立体几何知识点总结精华知识点总结精华考试内容考试内容 平面及其基本性质平面图形直观图的画法 平行直线对应边分别平行的角异面直线所成的角异面直线的公垂线异面直线的距 离 直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在 平面上的射影直线和平面所成的角三垂线定理及其逆定理 平行平面的判定与性质平行平面间的距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与 性质 多面体正多面体棱柱棱锥球 考试要求考试要求 （1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出 空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位
2、置关系 （2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概 念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离 （3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质 定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三 垂线定理及其逆定理 （4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行 平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理 （5）会用反证法证明简单的问题 （6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念 （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直
3、棱柱的直观图 （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图 （9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式 9（B）直线、平面、简单几何体 考试内容：考试内容： 平面及其基本性质平面图形直观图的画法 平行直线 直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定三垂线定理及其逆定理 两个平面的位置关系 空间向量及其加法、减法与数乘空间向量的坐标表示空间向量的数量积 直线的方向向量异面直线所成的角异面直线的公垂线异面直线的距离 直线和平面垂直的性质平面的法向量点到平面的距离直线和平面所成的角向量在 平面内的射影 平行平面的判定和性质平行平面间的距离二面角及其平面角两个平面垂直
4、的判定和 性质 多面体正多面体棱柱棱锥球 考试要求：考试要求： （1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出 空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系 （2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线227和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理 （3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘 （4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算 （5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌握空间两点间距离公式
5、 （6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念 （7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的 距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理 掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理 （8）了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念 （9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图 （10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图 （11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式立体几何立体几何立体几何立体几何 知识要点知识要点知识要点知识要点 一、一、平面平面. .1
6、. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 2. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分.（两个平面平行，两个平面相交） 3. 过三条互相平行的直线可以确定 1 或 3 个平面.（三条直线在一个平面内平行，三 条直线不在一个平面内平行） 注：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有 0 或 1 个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z 三个方向） 二、二、空间直线空间直线. .1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线共面有反且有一个公共点；平行 直线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面内 注：两条异面直
7、线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（）（可能两条直线平 行，也可能是点和直线等） 直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内. 两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. 在平面内射影是直线的图形一定是直线.（）（射影不一定只有直线，也可以是其他图 形） 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（）（并非是从平面外一点向这个平面所 引的垂线段和斜线段）ba,是夹在两平行平面间的线段，若ba ，则ba,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线
8、是异 面直线.（不在任何一个平面内的两条直线） 3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角 相等（如下图）. 12方向相同12方向不相同228二面角的取值范围oo180,0）（直线与直线所成角oo90,0） （斜线与平面成角oo90,0）（直线与平面所成角oo90,0）（向量与向量所成角)180,0oo推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角） 相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,ll是异面直线
9、，则过21,ll外一点P，过点P且与21,ll都平行平面有一个或没有，但与21,ll距离相等的点在同一平面内. （1L或2L在这个做出的平面内不能叫1L与2L平行的平面） 三、三、直线与平面平行、直线与平面垂直直线与平面平行、直线与平面垂直. .1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. 2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条 直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”） 注：直线a与平面内一条直线平行，则a. （）（平面外一条直线） 直线a与平面内一条直线相交，则a与平面相交. （）（平面外一条直线） 若直线a与平面平行，则内必存在无
10、数条直线与a平行. （）（不是任意一条直 线，可利用平行的传递性证之） 两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （）（可能在此 平面内） 平行于同一直线的两个平面平行.（）（两个平面可能相交） 平行于同一个平面的两直线平行.（）（两直线可能相交或者异面）直线l与平面、所成角相等，则.（）（、可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个 平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”） 4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平 面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.
11、 若PA，aAO，得aPO（三垂线定理），得不出PO. 因为aPO，但PO不垂直OA. 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么 这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）PO Aa229直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂 直于这个平面. 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 注：垂直于同一平面的两个平面平行.（）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平 面平行） 垂直于同一直线的两个平面平行.（）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另 一个平面） 垂直于同
12、一平面的两条直线平行.（） 5. 垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影 相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜 线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短. 注：垂线在平面的射影为一个点. 一条直线在平面内的射影是一条直线.（） 射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内 的射影在这个角的平分线上 四、四、平面平行与平面垂直平面平行与平面垂直. .1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个 平面平行.（“线面
13、平行，面面平行”） 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. 注：一平面间的任一直线平行于另一平面. 3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平 行.（“面面平行，线线平行”） 4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直 于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”） 注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系. 5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直
14、线 也垂直于另一个平面. 推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找 O 作 OA、OB 分别垂直于21,ll，因为OBPMOAPM,则OBPMOAPM,. 6. 两异面直线任意两点间的距离公式：cos2222mndnml（为锐角取加，为钝取减，综上，都取加则必有2, 0）7. 最小角定理：21coscoscos（1为最小角，如图）最小角定理的应用（PBN 为最小角） 简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有 4 条. 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有 2 条. 成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有 3 条或
15、者 2 条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有 1 条或者没有. 图1 1 2 图2P MABO230五、五、棱锥、棱柱棱锥、棱柱. .1. 棱柱. 直棱柱侧面积：ChS （C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图 为矩形得出的.斜棱住侧面积：lCS1（1C是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的. 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体. 直四棱柱平行六面体=直平行六面体.四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体底面是平行四边形侧棱垂直底面底面是矩形底面是 正方形侧面与底面边长相等棱柱具有的性质： 棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正 棱柱的各个侧面都是全等的矩形. 棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注：棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （） （直棱柱不能保证底面是钜形可如图） （直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直. 平行六面体
