《2014届步步高大一轮复习讲义9.8》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届步步高大一轮复习讲义9.8（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.8 曲线与方程曲线与方程2014 高考会这样考 1.考查曲线方程的概念；2.考查直接法、定义法、相关点法求轨迹方程；3.和向量、平面几何等知识相结合求动点轨迹，并研究轨迹的有关性质复习备考要这样做 1.理解坐标法研究解析几何问题的基本思想，会根据条件求曲线的轨迹方程；2.掌握常用的几种求轨迹方程的方法1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线2求动点的轨迹方程的一般步
2、骤(1)建系建立适当的坐标系(2)设点设轨迹上的任一点 P(x，y)(3)列式列出动点 P 所满足的关系式(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x，y 的方程式，并化简(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程3两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题难点正本 疑点清源求轨迹方程
3、的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系 F(x，y)0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入法(相关点法)：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y 的代数式表示 x0，y0，再将 x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x，y 均用一中
4、间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程1已知点 A(2,0)、B(3,0)，动点 P(x，y)满足x26，则点 P 的轨迹方程是PAPB_答案 y2x解析 (3x，y)，(2x，y)，PBPA(3x)(2x)y2x2x6y2x26，y2x.PAPB2已知两定点 A(2,0)、B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积为_答案 4解析 设 P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，x22y2x12y23x23y212x0，即 x2y24x0.P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为 2 的圆即轨迹所包围的面积等于 4.3方程(2x3y1)(
5、1)0 表示的曲线是( )x3A两条直线 B两条射线C两条线段 D一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为Error!或10，x3即 2x3y10 (x3)或 x4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线4已知点 P 是直线 2xy30 上的一个动点，定点 M(1,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|MQ|，则 Q 点的轨迹方程是( )A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50答案 D解析 由题意知，M 为 PQ 中点，设 Q(x，y)，则 P 为(2x,4y)，代入 2xy30 得2xy50.5若点 P 到直线 x1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1，则点 P
6、 的轨迹为( )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案 D解析 依题意，点 P 到直线 x2 的距离等于它到点(2,0)的距离，故点 P 的轨迹是抛物线.题型一 直接法求轨迹方程例 1 已知 M(4,0)，N(1,0)，若动点 P 满足6|.MNMPNP(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)设 Q 是曲线 C 上任意一点，求 Q 到直线 l：x2y120 的距离的最小值思维启迪：设动点坐标，列式化简即可解 (1)设动点 P(x，y)，则(x4，y)，(3,0)，(1x，y)，MPMNPN由已知得3(x4)6，1x2y2化简得 3x24y212，即1.x24y23点 P 的轨迹方程是椭圆 C：
7、1.x24y23(2)由几何性质意义知，l 与平行于 l 的椭圆 C 的切线 l的距离等于 Q 与 l 的距离的最小值设 l：x2yD0.将其代入椭圆方程消去 x，化简得：16y212Dy3(D24) 0.144D2192(D24)0D4，l和 l 的距离的最小值为.|124|5点 Q 与 l 的距离的最小值为.8 55探究提高 (1)用直接法求轨迹方程的步骤：建系，设点，列方程化简其关键是根据条件列出方程来(2)求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上如图所示，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1，l2，若 l1交 x 轴于 A，l2交 y轴于 B，求线
8、段 AB 中点 M 的轨迹方程解 设点 M 的坐标为(x，y)，M 是线段 AB 的中点，A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)(2x2，4)，(2,2y4)PAPB由已知0，2(2x2)4(2y4)0，PAPB即 x2y50.线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x2y50.题型二 定义法求轨迹方程例 2 已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|4.动圆 M 与圆 O1内切，又与圆 O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线思维启迪：利用两圆内、外切的充要条件找出点 M 满足的几何条件，结合双曲线的定义求解解 如
9、图所示，以 O1O2的中点 O 为原点，O1O2所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系由|O1O2|4，得 O1(2,0)、O2(2,0)设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 与圆 O1内切，有|MO1|r1；由动圆 M 与圆 O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3.点 M 的轨迹是以 O1、O2为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支a ，c2，b2c2a2 .3274点 M 的轨迹方程为1 (x )4x294y2732探究提高 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量如图，点 A 为圆形纸片内
10、不同于圆心 C 的定点，动点 M 在圆周上，将纸片折起，使点 M 与点 A 重合，设折痕 m 交线段 CM 于点 N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系 xOy 中，设圆 C：(x1)2y24a2 (a1)，A(1,0)，记点 N 的轨迹为曲线 E.(1)证明曲线 E 是椭圆，并写出当 a2 时该椭圆的标准方程；(2)设直线 l 过点 C 和椭圆 E 的上顶点 B，点 A 关于直线 l 的对称点为点 Q，若椭圆 E的离心率 e，求点 Q 的纵坐标的取值范围12，32(1)证明 依题意，直线 m 为线段 AM 的垂直平分线，|NA|NM|.|NC|NA|NC|NM|CM|2a2，N 的轨迹是以 C、
11、A 为焦点，长轴长为 2a，焦距为 2 的椭圆当 a2 时，长轴长为 2a4，焦距为 2c2，b2a2c23.椭圆的标准方程为1.x24y23(2)解 设椭圆的标准方程为1 (ab0)x2a2y2b2由(1)知：a2b21.又 C(1,0)，B(0，b)，直线 l 的方程为 1.x1yb即 bxyb0.设 Q(x，y)，因为点 Q 与点 A(1,0)关于直线 l 对称，Error! 消去 x 得 y.4bb21离心率 e， e2 ，12，321434即 . a24.141a23443 b214，即b，43333y2，当且仅当 b1 时取等号4bb214b1b又当 b时，y；当 b时，y，y2.
12、333333点 Q 的纵坐标的取值范围是，23题型三 相关点法求轨迹方程例 3 设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且2，当点 P 在 y 轴上MNMPPMPF运动时，求点 N 的轨迹方程思维启迪：点 N 的运动依赖于点 P，可以通过 P、M、N 三点坐标关系探求点 N 的轨迹方程解 设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，PMPFPMPF(x0，y0)(1，y0)0，x0y 0.2 0由2得(xx0，y)2(x0，y0)，MNMPError!，即Error!.x0，即 y24x.y24故所求的点 N 的轨迹方程是 y24x.探究提
13、高 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式Error!(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程已知长为 1的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，P2是 AB 上一点，且，求点 P 的轨迹 C 的方程AP22PB解 设 A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，AP22PB又(xx0，y)，(x，y0y)，APPB所以 xx0x，y(y0y)，2222得 x0x，y0(1)y.(122)2因为|AB|1，即 x y (1)2，22 02 02所
14、以2(1)y2(1)2，(122)x22化简得y21.x22点 P 的轨迹方程为y21.x22利用参数法求轨迹方程典例：(14 分)已知抛物线 y24px (p0)，O 为顶点，A、B 为抛物线上的两动点，且满足OAOB，如果 OMAB 于 M 点，求点 M 的轨迹方程审题视角 (1)点 M 的运动是由 A 点的运动引起的，而 A 的变动又和 OA 的斜率有关(2)若OA 的斜率确定，A 的坐标确定，M 的坐标也确定，所以可选 OA 的斜率为参数规范解答解 设点 M 的坐标为(x，y)，直线 OA 的方程为 ykx，1 分显然 k0，则直线 OB 的方程为 y x.2 分1k由Error!解得 A 点的坐标为，(4pk2，4pk)类似地可得 B 点的坐标为(4pk2，4pk)，6 分从而知当 k1 时，kAB.4p(1kk)4p(1k2k2)11kk故得直线 AB 的方程为 y4pk(x4pk2)，11kk即y4px， 9 分(1kk)直线 OM 的方程为 yx. 10 分(1kk)可知 M 点的坐标同时满足，由及消去 k 得 4pxx2y2，即(x2p)2y24p2 (x0)，12 分当 k1 时，容易验证 M 点的坐标仍适合上述方程故点 M 的轨迹方程为(x2p)2y24p2(
