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1、第五章复习题第五章复习题第五章复习题1.1.1. 证明泊松过程为连续时间齐次马尔可夫链。 ,0X tt 证 先证泊松过程的马尔可夫性。泊松过程是独立增量过程，且，对任意 00X有1210nnttttL1111111121211111()|( ),( )()( )|( )(0),( )( ),( )()()( )nnnnnnnnnnnnnnnnP X tiX tiX tiP X tX tiiX tXi X tX tiiX tX tiiP X tX tiiLL另一方面111111()|( )()( )|( )(0)()( )nnnnnnnnnnnnnnP X tiX tiP X tX tiiX t
2、XiP X tX tii所以111111()|( ),( )()|( )nnnnnnnnP X tiX tiX tiP X tiX tiL即泊松过程是一个连续时间马尔可夫链。再证齐次性，当时，ji()()|( )()( )()!j i ttP X stj X siP X stX sjieji 当时,因增量只取非负整数值,故，ji,0ijps t 所以(),( , )( )()!0,j i tijijtejips tp tjiji 转移概率与 s 无关，泊松过程具有齐次性。2、连续时间齐次马尔可夫链的科尔莫戈罗夫向后方程是，( )( )( )ijikkjiiij k ip tq ptq p t其
3、矩阵表达式为，其中是马尔可夫链的状态转移矩阵，是马尔可夫 P tQP t P tQ链的转移速率矩阵。3、连续时间齐次马尔可夫链的科尔莫戈罗夫向前方程是，( )( )( )ijikkjijjj k ip tp qtp qt其矩阵表达式为，其中是马尔可夫链的状态转移矩阵，是马尔可 P tP t Q P tQ夫链的转移速率矩阵。4、连续时间的马尔可夫链在 t 时刻处于状态的绝对概率满足福克-普朗克方程jI jpt是。 ( )( )( )jkkjjjj k ip tpt qtp t q5、设连续时间的马尔可夫链是不可约的，若它是正常返的，则极限存在且等于 ijtlim pt 这里是方程组的唯一非负解。此时称0j, jIj 1jjjkkj kjj i Iqq j, jI是该过程的平稳分布，并且有；若它是零常返的或非常返的，则 jtlim pt j0 ijjttlim ptlim pt
