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1、3.2 边际边际分布与随机分布与随机变变量的独立性量的独立性一、一、边际边际分布函数分布函数1、二维随机变量中 (, )X Y的边际分布 X( )()(,)lim( , )( ,)XyFxP XxP Xx YF x yF x 的边际分布 Y( )(, )YFyFy2、在三维随机变量的联合分布函数中，(, ,)X Y Z( , , )F x y z用类似的方法可得到更多的边际分布函数例例 3.2.1 设二维随机变量的联合分布函数为(, )X Y1,0,0,( , )0,xyx yxyeeexyF x y 他他这个分布被称为二维指数分布，其中求其边际分布0解：解： 略注注：与 的边际分布都是一维指
2、数分布，且与参数无XY0关不同的对应不同的二维指数分布，但它们的两个0边际分布不变，这说明边际分布不能唯一确定联合分布二、二、边际边际分布列分布列二维离散随机变量的联合分布列为(, )X Y (,)ijP Xx Yy的边际分布列为X1()(,),1,2,iij jP XxP Xx Yyi的边际分布列为Y1()(,),1,2,jij iP YyP Xx Yyj三、三、边际边际密度函数密度函数如果二维连续随机变量的联合密度函数为，(, )X Y( , )p x y因为( )( ,)( , ),xXFxF xp u v dv du ( )(, )( , ),yYFyFyp u v du dv所以相应
3、的边际密度( )( )( ,)( , ),XXpxFxF xp x y dy ( )( )(, )( , ).YYpyFyFyp x y dx例例 3.2.3 设二维随机变量的联合密度函数为(, )X Y1,01,( , )0,.xyxp x y他他试求：（1）边际密度函数和；（2）及( )Xpx( )Ypy1()2P X 1()2P Y 解：解： 略四、随机四、随机变变量量间间的独立性的独立性定定义义 3.2.1 设 维随机变量的联合分布函数n12(,)nXXX为，为的边际分布函数如果对任意12( ,)nF x xx( )iiF xiX个实数，有n12,nx xx12 1( ,)( )nnii iF x xxF x则称相互独立12,nXXX（1（ 在离散随机变量场合，如果对任意 个取值，n12,nx xx有1122 1(,)()nnnii iP Xx XxXxP Xx 则称相互独立12,nXXX （2）在连续随机变量场合，如果对任意 个取值，n12,nx xx 有12 1( ,)( )nnii ip x xxp x 则称相互独立12,nXXX例例 3.2.7 设二维随机变量的联合密度函数为(, )X Y8,01,( , )0,.xyxyp x y其他问与 是否相互独立？XY 分析分析 为判断与 是否相互独立，只需看边际密度函数之XY 积是否等于联合密度函数 解解 略
