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1、1经典易错题会诊与经典易错题会诊与 2012 届高考试题届高考试题预测（十四）预测（十四）考点考点 14 极限极限 数学归纳法 数列的极限 函数的极限 函数的连续性 数学归纳法在数列中的应用 数列的极限 函数的极限 函数的连续性 经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角度命题角度 1 数学归纳法数学归纳法1 （典型例题）已知 a0,数列an满足 a1=a,an+1=a+ na1,n=1,2,.()已知数列an极限存在且大于零，求 A=nna lim(将 A 用 a 表示)；()设 bn=an-A,n=1,2,证明：bn+1=-;)(AbAbnn ()若|bn|n21, 对 n=1,2都成立，求 a
2、 的取值范围。考场错解 ()由nna lim，存在，且 A=nna lim（A0）,对 aa+1=a+ na1两边取极限得，A=a+A1. 解得 A=.242aa又 A0, A=.242aa()由 an+bn+A,an+1=a+ na1得 bn+1+A=a+Abn1.)(111 1AbAb AbAAbAab nnnnn即)(1AbAbb nnn对 n=1,2都成立。()对 n=1,2,|bn|n21，则取 n=1 时，21|1b,得.21|4(21|2aaa14.21| )4(21|22aaaa,解得23a。2专家把脉 第问中以特值代替一般，而且不知bn数列的增减性，更不能以 b1取代 bn.
3、 对症下药 () ()同上。()令|b1|21,得.21|)4(21|2aaa.21|421|2aa.23, 142aaa解得现证明当23a时，nnb 21|对 n=1,2,都成立。(i)当 n=1 时结论成立（已验证） 。(ii)假设当 n=k(k1)时结论成立，即kkb 21|，那么. 21 |1 | )(| |1kkkkkAbAAbAbb故只须证明21 |1 AbAk，即证 A|bk+A|2 对 a23成立由于, 42 2422aaaaA 而当a23时，而当a23时，. 2, 142Aaa, 1 212|kkkbAAb即A|bk+A|2.故当a23时，. 2121 21|11kkkb即n
4、=k+1时结论成立。 根据(i)和(ii)，可知结论对一切正整数都成立。故|bn|n21对n=1,2,都成立的a的取值范围为,232(典型例题)已知数列an中,a1=3,前 n 项和 Sn满足条件 Sn=6-2an+1.计算 a2、a3、a4,然 后猜想 an的表达式。并证明你的结论。考场错解 当 n2 时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=21an.因为 a1=3,所以a2=21a1=23,a3=21a2=43,a4=21a3=.83由此猜想 an=)( 23* 1Nnn 当 n=1 时，a1=1123 =3,结论成立； 假设当 n=k(
5、k1)时结论成立，即 ak=123 k成立，则当 n=k+1 时，因为 ak+1=21ak，所以,211kk aa又 a1=3,所以an是首项为 3 公比为21的等比数列。由此得 ak+1=3（21）k+1-1=31123 k,这表明，当 n=k+1 时结论也成立。由、可知，猜想对任意 nN*都成立。专家把脉 应由 a1=S1=6-2a2,求得 a2=23,再由 an+1=21an(n2)求得 a3=43,a4=83,进而由此猜想 an=123 n(nE*).用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设123 kka，而是根据等比列的通项公式求得 ak+1=1123 k.这种证明不属于数学归纳法。
6、对症下药 由 a1=S1=6-2a2,a1=3,得 a2=.23当 n2 时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=21an.将 a2=23代入得 a3=21a2=43,a4=21a3=83,由此猜想 an=*).( 23 1Nnn下面用数学归纳法证明猜想成立。当 n=1 时，a1=33 11a,猜想成立；假设当 n=k(k1)时结论成立，即 ak=123 k成立，则当 n=k+1 时，因为 ak+1=21ak，所以ak+1=21123 k=112323 kk这表明，当 n=k+1 时结论也成立。由，可知，猜想对 nN*都成立。3 （典型例题）
7、已知不等式21+31+n121log2n,其中 n 为大于 2 的整数，log2n表示不超过 log2n 的最大整数。设数列an的各项为正，且满足 a1=b(b0),an11 nn anna,n=2,3,4,.()证明：anlog222nbb ，n=2,3,4,5,;()猜测数列an是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明） ；（）试确定一个正整数 N，使得当 nN 时，对任意 b0,都有 an10=1024.取 N=1024,有 an10,n210=1024,故取N=1024，可使当 nN 时 ,都有 an0)与直线 l:y=x 相交于 A1,作 A1B1l 交 x 轴于 B1,作 B1A
8、2l 交曲线 C 于 A2依此类推。 （1）求点 A1、A2、A3和 B1、B2、B3的坐标；答案： A1(1,1)、A2（2+1, 2-1） 、A3（3+2,3-2） 、B1（2,0） 、B2（22,0） 、B3（23,0）（2）猜想 An的坐标，并加以证明；答案： An()1, 1nnnn,证明略.（3）.|lim 11nnnn nBBBB 答案：设 An().0 ,(),1 nnn nbBaa由题图：A1（1，1） ，B1（2，0） a1=1,b1=2 且 )( 1111上在直线nn nnn nnbxyAbnaaaabQ6 11lim22lim|1|1|lim1 nnnn aa BBBB
9、nnnnnnnnn，分子分母乘以（)1)(1nnnn）及 nlim1111111 lim 11 nn nnnnn3 设数列 a1,a2,，an,的前 n 项的和 Sn 和 an 的关系是 Sn=1-ban-,)1 (1 nb其中 b 是与n 无关的常数，且 b-1。 （1）求 an和 an-1的关系式；答案： an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-)2( )1 ()( )1 (1)1 (1 11 n bbaab bbnnnnn解得 an=)2( )1 (111 n bbabb nn（2）猜想 an的表达式（用 n 和 b 表示） ；答案：a=S1=1-ba1-21)1 (,11bbab
10、L, )1 ()1()1 ( )1 (1)1(1)1 (2)1()1 ( )1 (11ba13232121322212n nnnnnnnnnbbbbabbbbbbbabb bbnbbbabbbbbbabb b由此猜想 an=1111 )1 (32)1( nnn bbbbbabbL把 a1=2)1 (bb代入上式得an= ) 1( 2) 1( )1)(1 ( )1 (21111 bnb bbbbbbbbnnnnnL（3）当 00,b0). ()当 a=b 时，求数列un的前项 n 项和 Sn。（）求 nlim 1nn uu。考场错解 （）当 a+b 时，rn=(n+1)an.Sn=2a+3a2+
11、4a3+nan-1+(n+1)an.则 aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1.两式相减：Sn=2212)1 (2)2() 1(aaaanannn() nlim 1nn uu= nlim1) 1( nnuaan= nlimnna) 1( =a.专家把脉 （）问运用错位相减时忽视 a=1 的情况。 （）a=b 是（）的条件，当 ab 时，极限显然不一定是 a. 对症下药 （）当 a=b 时，un=(n+1)an.这时数列un的前 n 项和Sn=2a+3a2+4a3+nan-1+(n+1)an. 式两边同乘以 a,得 aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1
12、式减去式，得（1-a）Sn=2a+a2+a3+an-(n+1)an+19若 a1,(1-a)Sn=aaan 1)1 (-(n+1)an+1+aSn=221212)1 (2)2() 1(1) 1()1 ()1 (aaananaaanaaaannnn 若 a=1,Sn=2+3+n+(n+1)=2)3( nn()由（） ，当 a=b 时，un=(n+1)an,则 nlim 1nn uu= nlim1) 1( nnuaan= nlimnna) 1( =a.当 ab 时，un=an+an-1b+abn-1+bn=an1+n ab ab ab)()(2L=.,)(11)(1111111nnnnnnnnnn
13、 baba uubaba ababa 此时或 ab0, nlim 1nn uu= nlimnnnnbaba11 = nlim. )(1)( aababbann 若 ba0, nlim 1nn uu= nlim. 1)()( bbabbaann 专家会诊专家会诊1充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限 nlimC=C.(C 为常数). nlimn1=0. nlimqn=0,|q|0,a1),设y4=17,y7=11. (1)求数列yn的前多少项最大，最大为多少？答案：由已知得，数列为关数列，y4=17,y7=11, 公差 d=, 0,13, 0,121,225)4(4, 231711ynyn
14、nynnndnyyn数列时当时当的前 12 项最大，最大为 144.（2）设 bn=2yn,sn=b1+b2+bn,求 nlim252ns的值。答案： bn=2yn,Sn=b1+b2+bn, bn为等比数列.且公比为 q=41, nlimSn=32432 125231 qS nlim.31225nS4 设 an=1+q+q2+qn-1(nN+,q)，An=C1na1+C2na+Cnnan(1)用 q 和 n 表示 An;答案：q1, an=qqn 11) 1()1 (211)()(11)()(1111 11 1122101022121221qqqCqCqqCCCCCqCqCqqCCCCqCqqCqqCqqAnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnLLLLL(2)当-31 时，f(x)=nnnxx4lim=31.(4)当 x=1 时 f(x)=nnnxx4lim=-1。 1111311
