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1、第第 5 5 章章 （之（之 2 2）第第 2525 次作业次作业教学内容教学内容：5.3 微积分基本定理1选择题*（1） baxxxdarctandd（ ）0)(arctanarctan)(11)(arctan)(2； DabCxBxA 答: D*（2） 等于，则为连续函数，且设)(d)()()(11xFttfxFxfnxx（ ）； ； )1()(ln)()1(1)(ln1)()1()(ln1)()1(1)(ln1)(22xfxfDxfxxfxCxfxfxBxfxxfxA答: A*（3） 003 ddd)2() 1(xxxyttty，则设（ ） ； ； ； 5)( 5)(2)( 2)(DCB
2、A答: A*（4）时，则当，设065)(sin)(65cos102xxxxgdttxfx的是)()(xgxf（ ） 同阶但不等价无穷小 等价无穷小； 高阶无穷小； 低阶无穷小； )()()()(DCBA答: B*（5），则函数上连续，且，在设函数0)()(xfbaxf内零点的个数必为，在)()(1)()(badttfdttfxFxbxa（ ）无穷多； ； ； )( 2)(1)( 0)(DCBA答: B*（6） )0( 000d) 1( )(202fxxxte xfxt则， ，若（ ）； ； 0)( 32)(31)( 1 )(DCBA答: B*2.设已知)(xf是个连续函数，而)(x及)(x均为
3、可微函数，若记)()()()(xxdxxfxF，试证 )()()()()(xxfxxfxF。证明：)()()()(xxdxxfxF)()(00)()(xxxxdxxfdxxf，)()()()()(xxfxxfxF. *3.若 )(xF是 )(xf的一个原函数，问 ) 12(xF是什么函数的原函数？解：由条件 )()(xfxF，2) 12() ) 12(xFxF) 12(2xf，) 12(xF是) 12(2xf的一个原函数.*4.tduux 02)cos(，tuduey 012，试求 0tdxdy.解： etedtdxdtdydxdyttttt 021000cos2.*5.设函数)(xyy 由方
4、程 12 21 yxtdte所确定，试求)(xy及)(xy 。解：为方便，将方程12 21 yxtdte化为 1 02102122 xtytdtedte，两边关于x求导数0)(22 21 21 xyexye， 222)(yx exy ， )()(222xyyxexyyx )(222222yxyx eyxe 22222yxyx yexe .6求下列极限：*(1) )2ln(2sin lim211xxduuxx；解： 222cos lim222sin lim2222sin lim21121xx xxxxxxxxx 原式*（2）dttxxt x 102 )2sin1 (lim ；解：)00(1)2s
5、in1 ( lim)2sin1 (lim102102xdtt dttxxtxxt x 2 1)2sin1(limexp1)1()12sin(1 lim222xx xxxxxx exxx4)22sin (4limexp .*(3)12)1ln(14limxxdttetx.解：)() 1( )1ln(124lim )1ln(124lim1 xx edttetxxxx2 )1ln(11 4lim2 e .其中，第一个“=”利用了“积分中值定理”.*7.若)(xf是,ba上单调增加的连续函数，试证明函数xadttfaxxF)(1)( 在,(ba上单调增加。解： 2)()()()( )(axdttfax
6、xf xFxa ，由中值定理可知：,xa，使 )()(axfdttfxa，0)()()()(axfxfxF， )(ax ， 因此 )(xF单调上升.*8. 上的最大点，在区间求函数2 212lneedttttxIxe解: 2 220)1 (ln 12ln)(eexxx xxxxI，由上单调增加，在知)(2eexI，所以 2ex 时，)(xI取得最大值，即2ex 为最大点。（ 222) 1(ln)(maxeeexedtttxI 2 )11(lneettd22 ) 1(1 1lneee edttttt1 12 1122 eet teeln1 11 ee elnln()11ee e).*9.设函数)
7、(xf在,ba可积，试证明xadttfx)()(在,ba上连续.证明：待证 )()(lim 0xxx x ， 即证 0)()(lim 0 xxx x ，)()(xxxxaxxadttfdttf)()(xxxdttf)(，由于)(xf可积，故)(xf有界，可设Mxf)(，,bax，xMxxx)()(, 当0x，0)()(lim 0 xxx x.注：当ax 或b，则考虑单侧极限，可类似证明.*10.设函数)(xf在,ba可积，试证存在,ba使成立baadttfdttf)(21)(.证明：记xadttfxF)()(，则由上题知)(xF在,ba上连续，设dttfxFxGba)(21)()( ，则)(x
8、G也在,ba上连续。badttfaG)(21)( ， badttfbG)(21)( ，若badttf0)(，则取a（或b）可使结论成立.若badttf0)(，则0)(41)()(2 badttfbGaG ，则由连续函数零值定理知 ,ba， 使 0)(G，即badttfF)(21)( ， baadttfdttf)(21)(.第第 6 6 章章 （之（之 1 1） 第第 2626 次作业次作业 教学内容教学内容：6.1.1 不定积分的性质 6.1.2 不定积分的换元法 A*1.)()(41)(ddxxfxf.答案:Cxf)(41ln41.*2.求不定积分dxxxx6)23(2.解：原式=dxxxx
9、xx6)22323(22 dxxx)32(2)23(Cxxx 22ln3ln)32()23(.*3. 求dxxx 781.解： dxxxdxxx78778)1 (1788)1 () 1( 81 xxdCxcx 48)1 ()1 ()6(1 8168 68.*4. xxxxdsincos2cos求 .解: 原式xxxxxdsincossincos22xxxd)sin(cosCxxcossin.*5.求dxxxx 54522.解: 原式1)2(54)54(222xdx xxxxd Cxxx)2arctan()54ln(2.*6. xxdsec4求.xdxxxdx224sec) 1(tansec:解
10、(tan) tan21xdxtantantan2xdxdxCxxtantan313 .*7.求dxx4tan.解: dxx4tandxxxdxdxxx) 1(sectantan) 1(sectan2222Cxxxtantan313 .*8.求dxxx4)tan(sec.解：dxxx4)tan(secxdxxdxxxtantansectansec4244xdxxtan)tan(tan46Cxx57tan51tan71.*9.求)0(sincos2222baxbxadx.解: xbxadx2222sincos xdxxaba2 2 222costan111 )tan( )tan(11122xabd
11、 xabba aCxab ab)tanarctan(1.*10. 求xxxdcsccot3.解: xxxdcsccot3)d(csc) 1(csc2xxCxxcsccsc313 .*11.求dxxxxx34cos2sincossin2.解: dxxxxx34cos2sincossin234cos2sin)4cos2(sinxxxxdCxx32 )4cos2(sin23.*12. 求xxxdsinlncot.解: xxxdsinlncotxx sinln)sind(ln Cx sinlnln.*13. 求xxxxd)ln(ln123 .解: x xxxd )ln(ln123 23)ln()lnd
12、(xxxxCxx21)ln(2.*14.求dxxxx sincostan.解: dxxxx sincostanxdx xx2costantanCxxdxtan2tantan1.*15. 求dxeeexx x1arcsin2.解:dxeeexx x1arcsin2 )(arcsinarcsin2 1arcsin22222xxxxxedede eeCex 23 2)(arcsin34.*16.求dxxxxx442sincos2sin)arctan(tan.解: dxxxxx442sincos2sin)arctan(tan2222)(tan1sectan2)arctan(tanxdxxxx2222)
13、(tan1)(tan)arctan(tanxxdx )arctan(tan)arctan(tan22xdxCx22)arctan(tan21.*17.求dxxffxf1 1)()(.解：原式)(1 1)(xdfxff)()( 1)(xdfxdfxffCxfxffxfxfdxff)( 1)()( 1)( 1)(.*18. 求不定积分dxxgxgxfxgxfxf )()()()()()(32.解：原式=dxxgxgxgxfxgxfxf )()()()(2)()()(2 21422Cxgxf xgxfd22)()(21)()(21.第第 6 6 章章 （之（之 2 2） 第第 2727 次作业次作业 教学内容教学内容：6.1.2 不定积分的换元法 B*1. x xxxd 1)(arcsin22.解: x xxxd 1)(arcsin22 2
