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1、2015年线性代数经管类考试大纲第一章：行列式（一）考核知识点（一）考核知识点1.行列式定义。2.行列式的性质与计算。3.克拉默（Cramer）法则。（二）自学要求（二）自学要求学习本章，要确切了解行列式的定义；理解行列式的性质；熟练掌握行列式的计（特别是低阶的数字行列式和具有特殊形状的文字或数字行列式），会计算简单的行式；理解克拉默法则在线性方程组求解理论中的重要性。本章的重点；行列式的性质与计算。难点；n 阶行列式的计算（三）考核要求（三）考核要求1.行列式的定义。要求达到“识记”层次。1.1 熟练计算二阶与三阶行列式。1.2 清楚行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。1.3 了解行列式
2、的按其第一列展开的递归定义。1.4 熟记三角行列式的计算公式。2.行列式的性质与计算。要求达到“简单应用”层次。2.1 掌握并会熟练运用行列式的性质。2.2 掌握行列式的基本方法。2.3 回计算具有特殊形状的数字和文字行列式以及简单的 n 阶行列式。2.4 低阶范德蒙德行列式的计算。3.克拉默法则。要求达到“简单应用”层次。3.1 知道克拉默法则。3.2 会用克拉默法则求解简单的线性方程组。第二章：矩阵第二章：矩阵（一）考核知识点（一）考核知识点1.矩阵的各种运算的定义及其运算律。重点是矩阵的乘法。2. 分快矩阵的定义及其运算。3.逆矩阵的定义与性质，伴随矩阵，方阵可逆的判别条件。4.矩阵的初
3、等变换和初等矩阵。5.可逆矩阵的逆矩阵的求法。6.矩阵的秩的定义与求法。（二）自学要求（二）自学要求学习本章，要求掌握矩阵的各种运算及其运算法则；知道方阵可逆的充分必要条件；会求可逆矩阵的逆矩阵；熟练掌握矩阵的初等变换；理解矩阵的秩定义，会求矩阵的秩。本章的重点：矩阵运算及其矩阵的求法，矩阵的初等变换。难点：逆矩阵的求法及矩阵的概念。（三）考核要求（三）考核要求1.矩阵的定义。要求达到“识记”层次。1.1 理解矩阵的定义。1.2 知道三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵和零矩阵的定义。1.3 清楚矩阵与行列式是两个有本质区别的概念，清楚矩阵与行列式符号的区别。2.矩阵运算及其运算规律。要求达到“综合应
4、用”层次2.1 掌握矩阵相等与加、减法的定义及其可运算的条件和运算律，2.2 理解数乘矩阵运算的定义。注意 kA 与的区别，熟练运用，其中 n 是方阵 A 的阶数。2.3 掌握矩阵乘法的定义和可乘条件；掌握矩阵乘法的运算法则；注意矩阵乘法不满足交换定律和消去律，知道矩阵乘法与数的乘法的区别。2.4 会用方阵行列式的乘法与数的乘法的区别。2.5 知道矩阵转置的定义和转置的运算律，特别注意。2.6 知道对称矩阵和反对称矩阵的定义。3.方阵的逆矩阵。要求达到“领会”层次。3.1 理解可逆矩阵的概念与性质。3.2 熟练掌握方阵可逆条件和求逆运算律，知道是 A 可逆的充要条件。3.3 理解方阵的伴随矩阵
5、的定义。会用两个基本结论：。3.4 会用伴随矩阵求二阶和三阶矩阵的逆矩阵。3.5 会解矩阵方程。4.分块矩阵。要求达到“识记”层次4.1 知道分块矩阵的定义。4.2 理解分块矩阵的加法、数科和乘法运算以及分块矩阵的转置运算。4.3 会求准对有矩阵的逆矩阵和准三角矩阵的行列式。5.矩阵的初等变换与初等方阵。要求达到“简单应用”层次。5.1 理解矩阵的初等变换和初等方阵的定义及其相互之间的关系。5.2 知道初等方阵的逆矩阵5.3 知道矩阵等价的概念和矩阵的等价标准形。5.4 会利用矩阵的初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵。6.矩阵的秩的定义。要求达到“领会”层次“。6.1 理解矩阵的秩的定义。6.2 知
6、道方阵满秩的概念及其性质。7.矩阵的物件求法。要求达到“简单应用”层次。7.1 会根据定义求比较简单的矩阵的秩。7.2 会用矩阵的初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵，并求出矩阵的秩。第三章：向量空间第三章：向量空间（一）考核知识点（一）考核知识点1.n 维向量及其线性运算，n 维向量空间 的概念。2.向量的线性组合的定义和线性组合系数的计算。3.向量的线性相关和线性无关的概念及其判别法。4.向量组等价的概念。5.向量组的极大无关组与向量组的秩的定义及其求法。6.向量组的秩与矩阵的秩的关系。7.子空间及其基、维数和坐标的概念。（二）自学要求（二）自学要求学习本章，要求知道 n 维向量的概念；掌握向量是
7、同维向量组的线性组合的概率和组合系数的求法；理解向量组线性相关与线性无关的定义和判别法；理解向量组的极大无关组的定义和向量组的秩的定义；会求向量组的极大无关和向量组的秩；清楚向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。知道向量空间 的定义和向量空间的基与维数和坐标的概念。本章重点：线性组合系数的求法；向量组线性相关和线性无关的定义及其判别法；求向量组的秩。难点：向量组线性相关和线性无关的判别法；向量组秩的概念。（三）考核要求（三）考核要求1.n 维向量的定义和向量组的线性组合。要求达到“简单应用”层次。1.1 知道 n 维向量的定义。1.2 掌握向量的线性运算法则。1.3 理解向量是向量组的线性组合（即某
8、向量可用某向量组线性表出）性方程组形式表示法。1.4 掌握求线性组合系数的方法。2.向量组的线性相关与线性无关。要求达到“简单应用”层次。2.1 理解向量组线性相关和线性无关的定义。2.2 掌握求线性相关系数的方法（解齐次线性方程组）。3.向量组的极大无关组合向量许的秩。要求达到“简单应用”层次。3.1 理解两个向量组等价的概念。3.2 理解向量组的极大线性无关组的定义及其与原始向组的等价关系，的极大线性无关组3.3 理解向量组的秩的概念，并会求向量组的秩。4 向量组的秩与矩阵的秩的关系。要求达到“识记”层次4.1 知道矩阵的行秩与列秩的定义及其矩阵的秩的关系。4.2 熟知关于矩阵的秩的重要结
9、论。5.向量空间。要求达到“识记”层次。5.1 知道向量空间及其子空间的定义。5.2 知道向量空间的基和维数的概念。5.3 会求向量在某个基下的坐标。第四章：线性方程组第四章：线性方程组（一）考核知识点（一）考核知识点1.齐次线性方程组有非零解的充要条件。2.齐次线性方程组解的性质与解空间、基础解系和通解的概念。3.齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。4.非齐次线性方程组有解及有惟一解的充要条件。5.非齐次线性方程组解的性质与解的结构。6.非齐次线性方程的通解的求法。（二）自学要求（二）自学要求学习本章，要求熟练掌握齐次线性方程组的解空间、基础解系及通解的含义和求法，熟练掌握非齐次线性议程组
10、的有解判别法和通解的求法。本章重点：齐次线性方程组有非零解的充要条件；非齐次线性方程组有解的充要条件；会用矩阵的初等行变换求解线性议程组。难点：齐次线性方程组的基础解系的求法。（三）考核要求（三）考核要求1.齐次线性方程组有非零解的充要条件。要求达到“领会”层次。1.1 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件。2.齐次线性方程组解的性质与解空间。要求达到“领会”层次。2.1 理解齐次线性方程组解的性质。2.2 理解齐次线性方程组的解空间的概念。3.齐次线性方程组的基础解系与通解。要求达到“综合应用”层次。3.1 理解齐次线性方程组的基础解系的定义，会判定基础解系所含向量的个数。3.2 掌握用矩阵
11、初等行变换求齐次线性方程组的基础解系的方法；会化齐次线性方程组的系数矩阵为简化行阶梯形矩阵；会写出方程组的通解。4.非齐次线性方程组有解的充要条件。要求达到“领会”层次。4.1 理解非齐次线性方程组有解的判别定理。4.2 掌握非齐次线性方程组有惟一解，有无穷多解的判别方法。4.3 会讨论含参数的非齐次线性方程组的求解问题。5.非齐次线性方程组解的性质、解的结构和通解的求法。要求达到“综合应用”层次。5.1 理解非齐次线性方程组的解与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系。5.2 熟练掌握非齐次线性方程组的通解的求法。第五章：特征值和特征向量第五章：特征值和特征向量（一）考核知识点（一
12、）考核知识点1.实方阵的待征值和待征向量的定义、性质与计算。2.同阶实方阵相似的定义与性质。3.方阵的相似对角化。4.实向量的内积、长度及其正交性。5.正交向量组与正交矩阵。6.施密特正交化方法。7.实对称矩阵的正交相似对角化。（二）自学要求（二）自学要求学习本章，要求熟练掌握实方阵的特征值和特征向量的定义与求法；了解特征值与特征向量的性质；清楚两个同阶方阵相似的定义和性质；理解方阵与对角矩阵相似的条件并会用相似变换化方阵为对角矩阵；会计算两个实向量的内积和向量的长度，会判定两个向量是否正交；了解正交向量组的定义，会用施密特方法把线性无关向量组化为等价的正交单位向量组；了解正交矩阵的定义、性质
13、及其判定方法；了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；会用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵。本章重点：求实方阵的特征值和特征向量；方阵可相似对角化的条件和方法；方阵的相似对角化；实对称矩阵的正交相似对角化。难点：方阵与实对称矩的相似标准形的求法。（三）考核要求（三）考核要求1.特征值和特征向量。要求达到“简单应用”层次。1.1 理解实方阵的特征值和特征向量的定义。1.2 理解实方阵的特征值和特征向量的性质，会求给定矩阵的特征值和特征向量。2.相似矩阵的实义与性质。要求达到“领会”层次。2.1 理解矩阵相似的定义和相似矩阵的基本性质。3.方阵相似对角化。要求达到“简单应用”层次。3.1 熟知 n
14、阶实方阵相似于对角矩阵的充分必要条件。3.2 熟知 n 阶实方阵相似于对角矩阵的一个充分条件：A 有 n 个互不相同的特征值。3.3 掌握用相似变换化方阵为对角矩阵的方法。4.向量内积和正交矩阵。要求达到“领会”层次。4.1 清楚向量内积的定义和基本性质，会计算向量的内积。4.2 知道向量的长度的定义和把非零向量单位化。4.3 理解两个向量正交的概念，会判定两个非零向量是否正交。4.4 知道标准正交向量组的定义及其线性无关性。4.5 熟练掌握正交矩阵的定义及其性质。4.6 掌握线性无关向量组的施密特正交化方法。5.实对称矩阵的性质。要求达到“识记”层次。5.1 知道实对称矩阵的特征值和特征向量
15、的性质。5.2 知道实对称矩阵必正交相似于对角矩阵。6.实对称矩阵的正交相似标准形。要求达到“简单应用”层次。6.1 会求实对称矩阵的正交相似标准形。第六章：实二次型第六章：实二次型（一）考核知识点（一）考核知识点1.实二次型的定义及其矩阵表示。2.矩阵合同的定义。3.实二次型的标准形。4.惯性定理与实二次型的规范形。5.正定二次型和正定矩阵的概念与判定方法。（二）自学要求（二）自学要求学习本章，要求理解实二次型的定义及其矩阵表示；了解实二次型的标准形；了解全同矩阵的概念；会用正交变换化二次型为标准形；了解用配方法化二次型为合同标准化；知道惯性定理；理解正定二次型和正定矩阵的定义。掌握正定二次
16、型和正定矩阵的判别方法。本章重点：化二次型为标准形以及正定二次型和正定矩阵的判别方法。难点：用正交变换化二次型为标准形。（三）考核要求（三）考核要求1.实二次型的定义及其矩阵表示。要求达到“领会”层次。1.1 知道实二次型的定义及其矩阵表示。2.实二次型的标准形。要求达到“领会”层次。2.1 知道实二次型的标准形。2.2 知道矩阵合同的定义。3.化实二次型为标准形。要求达到“简单应用”层次。3.1 知道正交变换的定义。3.2 掌握用正交变换化实二次型为标准形的方法。3.3 知道用配方法化实二次型为标准形的方法。4.惯性定理与二次型的规范形。要求达到“识记”层次。4.1 知道惯性定理，知道二次型的秩及二次型的正、负惯性指数及符号差。4.2 知道二次型的规范形。5.正定二次型与正定矩阵。要求达到“领会”层次。5.1 理解正定二次型和正定矩阵的概念。5.2 掌握正定二次型和正定矩阵的判别方法。
