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1、1第一节 空间点、线、面之间位置关系【知识点 1】平面的基本性质平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理 1公理 2公理 3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言,Al BllAB , , ,A B CA B C不共线确定平面,lPPPlI公理 2 的三条推论：推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论 3 经过两条平行直线，有且只
2、有一个平面.例 1.空间中有四个点，如果其中任意三点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 ( ) (A).可能有三个，也可能有两个； (B).可能有三个，也可能有一个；(C).可能有四个，也可能有三个； (D).可能有四个，也可能有一个；例 2.在空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点，如果 QGHEF则( )(A).点 Q 一定在直线 BD 上； (B).点 Q 一定在直线 AC 上；(C).点 Q 在直线 AC 或 BD 上； (D).点 Q 既不在直线 BD 上，也不在直线 AC 上例 3： 已知正方体1111ABCDABC D中，E，
3、F分别为11DC，11C B的中点，ACBDPI，11ACEFQI求证：（1）D，B，F，E四点共面；（2）若1AC交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线1AADE 1C Q1BRP BCF2巩固练习1已知 A、B 表示点，b 表示直线，、表示平面，下列命题和表示方法都正确的是（ ）（A） （B） （C）（D） 2四条线段顺次首尾连接，如果每两条直线确定平面，则它们最多可以确定 （ ） （A）4 个平面； （B）2 个平面； （C）1 个平面； （D）3 个平面3.已知：空间四边形 ABCD，平面四边形 EFGH 的顶点分别在空间四边形的各边 AD,AB,BC,CD 上,若 EF与 GH
4、不平行，求证：三条直线 EF,GH,BD 共点。3【知识点 2】直线与直线之间的位置关系1. 空间两条直线的位置关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线/ ,/aa bb，把所成的锐角（或直角）叫异面, a bO,a b直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直, a b,a bOO线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直(0,90 线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步
5、骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.ab例 1：一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ） （A）平行或异面 （B）异面 （C）相交 （D）相交或异面 例 2：如图，空间四边形 ABCD 中，M、N 分别是ABC 和ACD 的重心，若 BDm，则 MN _ 例 3： 下列命题中正确的个数是（ ）若直线l上有无数个点不在平面内，则l若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A0B1C2D34NMB1A1C1D1BDCA例 4：如图，M是正方体
6、1111ABCDABC D的棱1DD的中点，给出下列命题过M点有且只有一条直线与直线AB、11BC都相交；过M点有且只有一条直线与直线AB、11BC都垂直；过M点有且只有一个平面与直线AB、11BC都相交；过M点有且只有一个平面与直线AB、11BC都平行. 其中真命题是：A B C D 例:5： 已知ab，是一对异面直线，且ab，成70o角，P为空间一定点，则在过P点的直线中与ab，所成的角都为70o的直线有 条例 6：空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若ACBDa，且AC与BD所成的角为90o，则四边形EFGH的面积是 例 7：如图，在正方体中，分别是，
7、的中点，则异面直线与1111ABCDABC DMN、CD1CC1AM所成的角的大小是_.DN例 8：直三棱柱中，若，111ABCA BC90BAC1A1B1C1DADCBMg5，则异面直线与所成的角等于1ABACAA1BA1ACA.30 B.45 C.60 D.90巩固练习1. 若直线a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是（ ）A内的所有直线与a异面B内不存在与a平行的直线C内存在唯一的直线与a平行D内的直线与a都相交2. 已知a，b，c是三条直线，角ab，且a与c的夹角为，那么b与c夹角为 3. 如果a，b是异面直线，直线c与a，b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个4. 如
8、图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？5. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：BM与ED平行CN与BE是异面直线CN与BM成60角DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）AFNDCBME6A，B， C， D，6.下列命题中，正确的个数为（ ）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；过空间四边形ABCD的顶点A引CD的平行线段AE，则BAE是异面直线AB与CD所成的角；四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形A0B1C2D37.已知平
9、面/，P是平面，外的一点，过点P的直线m与平面，分别交于AC，两点，过点P的直线n与平面，分别交于BD，两点，若698PAACPD，则BD的长为 8.已知正方形1111ABCDABC D中，,E F分别为1BB，1CC的中点，那么异面直线AE与1D F所成角的余弦值为 9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面111ABCABC1AABCBC直线与所成的角的余弦值为AB1CCA. B. C. D.3 45 47 43 47HGFEDCBA10.已知空间四边形 ABCD 中，E、H 分别是 AB、AD 的中点，F、G 分别是 BC、CD 上的点，且.2 3CFCG CB
10、CD求证：（）E、F、G、H 四点共面；（）三条直线 EF、GH、AC 交于一点. 8DCBAA1B1C1D1EF【知识点 3】直线与平面、平面与平面位置关系1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点） ；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点） ；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：；.llPI/l2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点） ；相交（有一条公共直线）.分别记作；./lI例例 1:E、F、G、H 是棱锥 A-BCD 棱 AB、AD、CD、CB 上的点，延长 EF、HG 交于 P 点，则点 P（ ）A. 一定在直线 AC 上 B. 一定在直线 B
11、D 上C. 只在平面 BCD 内 D. 只在平面 ABD 内例例 2:一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面（ ）A. 平行B. 相交C. 平行或垂合D. 平行或相交例例 3:若直线 不平行于平面，且，则lalaA 内存在直线与异面 B. 内不存在与 平行的直线aalC 内存在唯一的直线与 平行 D. 内的直线与 都相交alal例例 4:如图，正方体1111ABCDABC D的棱线长为 ，线段11B D上有两个动点，且1 2EF ，1EF，则下列结论中错误的是 A.ACBE B. /EFABCD平面C.三棱锥ABEF的体积为定值D.AEFBEF的面积与的面积相等例例
12、 5:正方体各面所在平面将空间分成（ ）个部分 A. 7 B. 15 C. 21 D. 27巩固练习1.是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是123lll，A.1223,ll ll1l/2lB.12ll,1l/3l13llC.1l/2l/3l 1l，2l，3l共面 D.1l，2l，3l共点1l，2l，3l共面92.若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数（ ） A. 有限个 B. 无限个C. 没有 D. 没有或无限个3.一个平面把空间分成 部分，两个平面可以把空间分成 部分，三个平面可以把空间分成 部分4已知nm、为异面直线，m平面，n平面，lI，则l （ ）
13、 A与nm、都相交 B与nm、中至少一条相交 C与nm、都不相交 D至多与nm、中的一条相交【知识点 4】直线与平面平行1.定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为：. 图形如右图所示., /ababa3.性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：./ /a aab b I证明直线与直线平行的方法：（1）利用题目图形几何特性：如中位线，线段成等比例等；（2）利用平行公理：若，则；cbba/ ，ca/（3）利用线面平行的性质定理：若，则；baa，/ba/（4）利用面面平行的性质定理：若，则；ba，/ba/（5）利用线面垂直的性质定理：若，则；ba，ba/ab105.证明直线与平面平行的方法：（1）利用线面平行的判定定理：若，则；baba，/a（2）利用面面平行的性质定理：若，则；a，/a例例 1:梯形 ABCD 中 AB/CD，AB平面 ，CD平面 ，则直线 CD 与平面 内的直线的位置关系只能是（ ）A. 平行 B. 平行和异面 C. 平行和相交 D. 异面和相交例例 2:已知 l 是过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点的平面 AB1D1与下底面 A
