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1、131.4 空间向量的正交分解及其坐标表示新知初探1空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x，y，z，使得 pxaybzc. 其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量2空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点 O 的两两垂直的单位向量 e1，e2，e3称为单位正交基底(2)空间直角坐标系：以 e1，e2，e3的公共起点 O 为原点，分别以 e1，e2，e3的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.(3)空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量 p，一定可以把它平移，使它的起
2、点与原点 O 重合，得到向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得 pxe1ye2ze3.把OPuuu rx，y，z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3下的坐标，记作 p(x，y，z)，即点 P 的坐标为(x，y，z)小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底( )(2)向量的坐标与点 P 的坐标一致( )APuuu r(3)对于三个不共面向量 a1，a2，a3，不存在实数组1，2，3使 01a12a23a3( )2已知 A(2,3，1)关于 x 轴的对称点是 A(，7，6)，则 ， 的值
3、为( )A2，4，5 B2，4，5C2，10，8 D2，10，73已知向量 a，b，c 是空间的一个基底，下列向量中可以与 p2ab，qab 构成空间的另一个基底的是_(填序号)2a；b；c；ac2题型一空间向量基本定理的理解典例 已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，OAuuu r OBuuu r OCuuu r OAuuu r OBuuu r OCuuu r能否作为空间的一个基底？活学活用设 xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底给出下列向量组：a，b，x；x，y，z；b，c，z；x，y，abc其中可以作为空间的基底的
4、向量组有_个题型二空间向量基本定理的应用典例 如图，四棱锥 POABC 的底面为一矩形，PO平面 OABC，设a，b，c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用OAuuu r OCuuu r OPuuu ra，b，c 表示：，.BFuuu rBEuuu r AEuuu r EFuuu r3活学活用如图，在正方体 ABCDABCD中，点 E 是上底面 ABCD的中心，求下列各式中 x，y，z 的值(1) xyz；BDuuuu r ADuuu rABuuu rAAuuu u r(2) xyz.AEuuu r ADuuu rABuuu rAAuuu u r题型三空间向量的坐标表示典例 如图所示
5、，PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PAAB1.试建立适当的空间直角坐标系， 求向量的坐标MNuuuu r4活学活用在直三棱柱 ABOA1B1O1中，AOB ，AO4，BO2，AA14，D 为 A1B1的中2点在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标DOuuu r A B1uuuu r层级一 学业水平达标1已知 A(3,2，3)，则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是( )A(3，2,3) B(3,2，3)C(3,2,3) D(3，2，3)2设 p：a，b，c 是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一个基底，则 p 是 q 的( )A充分不必要
6、条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3在空间直角坐标系 Oxyz 中，下列说法正确的是( )A向量的坐标与点 B 的坐标相同ABuuu rB向量的坐标与点 A 的坐标相同ABuuu rC向量与向量的坐标相同ABuuu rOBuuu rD向量与向量的坐标相同ABuuu rOBuuu r OAuuu r54已知空间四边形 OABC，其对角线为 AC，OB，M，N 分别是 OA，BC 的中点，点G 是 MN 的中点，则等于( )OGuuu rA. B. ( )16OAuuu r13OBuuu r13OCuuu r14OAuuu r OBuuu r OCuuu rC. ( ) D.
7、 13OAuuu r OBuuu r OCuuu r16OBuuu r13OAuuu r13OCuuu r5空间四边形 OABC 中，a，b，c，点 M 在 OA 上，且2OAuuu r OBuuu r OCuuu r OMuuuu r，N 为 BC 中点，则为( )MAuuu u r MNuuuu rA. a b c B a b c122312231212C. a b c D. a b c1212232323126设e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，a4e18e23e3，b2e13e27e3，则 a，b 的坐标分别为_7已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxayb2c，若
8、m 与 n 共线，则 x_，y_.8在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别是底面 A1C1和侧面 CD1的中心，若0(R)，则 _.EFuuu rA D1uuuu r9在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，E，F 分别是ABuuu r ADuuu rAA1uuuu rAD1，BD 的中点(1)用向量 a，b，c 表示，；D B1uuuu r EFuuu r(2)若xaybzc，求实数 x，y，z 的值D F1uuuu r610如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，D1B1的中点，求证：EFAB1.层级二 应试能力达标1已知 M，A
9、，B，C 四点互不重合且无三点共线，则能使向量，成MAuuu u rMBuuu u rMCuuuu r为空间的一个基底的关系是( )A BOMuuuu r13OAuuu r13OBuuu r13OCuuu r MAuuu u rMBuuu u rMCuuuu rC D2OMuuuu r OAuuu r OBuuu r OCuuu r MAuuu u rMBuuu u rMCuuuu r2给出下列命题：若a，b，c可以作为空间的一个基底，d 与 c 共线，d0，则a，b，d也可以作为空间的一个基底；已知向量 ab，则 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N 是空间四点，若，不
10、能构成空间的一个基底，则BAuuu rBMuuuu r BNuuurA，B，M，N 四点共面；已知a，b，c是空间的一个基底，若 mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是( )A1 B2C3 D43在长方体 ABCDA1B1C1D1中，若3i，2j，5k，则向量在ABuuu r ADuuu rAA1uuuu r AC1uuuu r基底i，j，k下的坐标是( )A(1,1,1) B.(13，12，15)7C(3,2,5) D(3,2，5)4已知向量和在基底a，b，c下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若OAuuu r OBuuu r OCuuu r25，则向量在基底a
11、，b，c下的坐标是( )ABuuu rOCuuu rA. B.(65，45，85)(65，45，85)C. D.(65，45，85)(65，45，85)5若a，b，c是空间的一个基底，且存在实数 x，y，z，使得 xaybzc0，则x，y，z 满足的条件是_6若 ae1e2，be2e3，ce1e3，de12e23e3，若 e1，e2，e3不共面，当d a b c 时，_.7设 A，B，C 及 A1，B1，C1分别是异面直线 l1，l2上的三点，且 M，N，P，Q 分别是线段 AA1，BA1，BB1，CC1的中点求证：M，N，P，Q 四点共面8已知空间四边形 OABC 中，M 为 BC 的中点，N 为 AC 的中点，P 为 OA 的中点，Q 为 OB 的中点，若 ABOC，求证：PMQN.
