《次函数经典解题技巧分析(详细解答)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《次函数经典解题技巧分析(详细解答)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲第二讲 二次函数综合问题二次函数综合问题二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数， 可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有 机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可 以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系， 是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁 出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征.
2、从解析式出发，可以进行纯粹 的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数 与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数 的一些综合问题. 1.1. 代数推理代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函 数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.11.1 二次函数的一般式二次函数的一般式中有三个参数中有三个参数. . 解题的关键在于：通过三个解题的关键在于：通过三个cbxaxy2)0( ccba,独立条件独立条件“
3、确定确定”这三个参数这三个参数. . 例 1 已知，满足 1且，求的取值范围.f xaxbx( ) 2f () 12214f ( )f ()2分析：本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论不是的ba,2f确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把 1和当成两个f () 124) 1 (2 f独立条件，先用和来表示. 1f1fba,解：由，可解得：baf1 baf1（*）)1() 1 (21),1() 1 (21ffbffa将以上二式代入，并整理得f xaxbx( ) 2, 2) 1(2122xxfxxfxf . 1312fff又，,214f ( )2) 1
4、(1 f . 1025 f例 2 设，若，, 试证明：对于任意 f xaxbxc a20 f 01 f 11f 11，有. 11x f x 5 4分析：同上题，可以用来表示. 1,1,0fffcba,解： , cfcbafcbaf0,1,1 , 0),1() 1 (21),0211(21fcffbfffa . 222 102121xfxxfxxfxf 当时，01x .45 45)21(1)1 (2212210212122222222222 xxxxxxxxxxxxxxfxxfxxfxf当时，10 x 222 102121xfxxfxxfxf222 122xxxxx)1 (22222 xxxxx
5、 .45 45)21(122xxx综上，问题获证. 1.21.2 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式.21xxxxay例 设二次函数，方程的两个根满足 f xaxbxc a20 f xx 0x x12,. 当时，证明.0112xxaxx 01, xf xx1分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数 f xx 0的表达式，从而得到函数的表达式. xxf)(xf证明：由题意可知.)()(21xxxxaxxf,axxx1021Q ,0)(21xxxxa 当时，.xx 01,xxf)(又,) 1)()()(211211ax
6、axxxxxxxxxaxxf, 011, 0221axaxaxxx且 ,1)(xxf综上可知，所给问题获证. 例例 4 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头
7、 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 命题意图头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 本题重点考查方程的根的分布问题头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头知识依托头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头
8、头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头错解分析头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头技巧与方法头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头
9、http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头解头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 (1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 65,21,21056)2(, 024) 1 (, 02) 1(, 012)0(mmRmmmfmffmf头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 21 65m(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式
10、组 10, 0, 0) 1 (, 0)0(mff. 01,2121,21,21mmmmm或1.31.3 紧扣二次函数的顶点式紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力对称轴、最值、判别式显合力,44 222abac abxay 例 5 已知函数。xzaxf22)(（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；)(xfy )(xgy )(xgy （2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；)(xhy )(xgy 1y)(xhy 21-1oyx1oyx（3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。)()(1)(xhxfaxF)(xFm72ma解：(1) ;22222 xxa
11、xfxg(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点 Q 在 xhy yxP,yxP,1yyxQ2 ,的图像上，所以 xgy ，yaxx22222于是 ,22222 xxay即 ;22222 xxaxh（3）.22) 14(2411)()(1)( xxa axhxfaxF设，则.xt2214 44)(tataaxF问题转化为：对恒成立. 即72214 44 tataa0t对恒成立. （*）0147442attaa0t故必有.（否则，若，则关于 的二次函数开口向下，044 aa044 aat14744)(2attaatu当 充分大时，必有；而当时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数t0tu044 aa的对称轴，所以，问题等价于，即14744)(2attaatu0847aat0t， 01
