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1、- 1 -第三届走进数学王国竞赛决赛试题全解及分析第三届走进数学王国竞赛决赛试题全解及分析1.下面是一串有规律的数：9、200、33、48、65、84、 第 41 个数是（2009）解法一：观察分析项数项说明 199数列前 1 项的和 2209+11数列前 2 项的和 3339+11+13数列前 3 项的和 4489+11+13+15数列前 4 项的和 5659+11+13+15+17数列前 5 项的和 6849+11+13+15+17+19数列前 6 项的和 n 9+11+13+15+9+（n-1） 2数列前 n 项的和解法二：观察分析项数项说明 1919项数9 220210项数10 333
2、311项数11 448412 565513 684614 n n(n+8)项数（项数+8）计算第 41 项：n(n+8)41（41+8）2009第一步：求出第 n 项：项首项+（项数-1）公差9+（n-1）22n+7第二步：求出前 n 项的和：和（首项+末项）项数2（9+2n+7）n/2(n+8)n由以上分析得：此列数是关于等差数列：9、11、13、15、17前 n 项的和2.今年是中华人民共各国成立 60 周年，在下面的方格图中，每个小方格的边长是 7 厘米。图中“60”所占的面积是（2009）平方厘米。解：分类数：竖着 6 个方格的有：64123 个横着 4 个方格的有：45218 个面积
3、：（77）（2318）2009 平方厘米- 2 -3.一排椅子共有 20 个座位，部分座位已经有人就座。小红后来一看，她无论坐在何处都要与已经就座的人相邻。在小红来之前已经就座的至少有(7)人.4. 有一根 180 厘米长的绳子。小明从一端开始，每隔 3 厘米标一个记号；小红从另一端开始，每隔 4 厘米标一个记号。如果在有记号的地方剪开，这根绳子一共被剪成了(90)小段。解法一：借助最小公倍数来求：第一步：求3，412；第二步：画图分析 12 厘米长的绳子能剪成几段。观察发现 12cm 中能分成 6 段，第三步：看 180cm 中有多少个 12cm 段。 1801215 段 15690 段解法
4、二：用植树问题去思考第一步：求出 3cm 记号点数：180360 段 60159 个点（两端不作记号，点数比段数少 1）第二步：求出 4cm 记号点数： 180445 段 45144 个点（道理同上）第三步：求出重复作记号数：3，412cm 1801215 段 15114 个点（道理同上）第四步：计算段数：59441489 个点 89190 段（两端不种树，段数比点数多1）5. 在下图的小圆圈里分别填入 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数，使得每个大圆上五个数的和都相等。那么，每个大圆上五个数的和有(6)种不同的可能。解：中间重复的 2 个数导致每个大圆上五个数的和不同。一般 是将填等差
5、数列的数填入后剩下的数必须是成对的，故填在中 间的数：等差数列的开头或末尾两个数，或者首尾对应填入。 本题中间重复的 2 个数可以是：1 和 2；7 和 8；1 和 8；2 和 7；3 和 6；4 和 5，故共有 6 种不同的可能。6.一副扑克牌上有 54 张,其中四种花色的牌各有 13 张,还有大、小王各 1 张。从中至少摸出(15)张,才能保证其中一定有 4 张牌的花色相同。解：最不理想的情况：取出 4 种花 色的牌每色 3 张，共 12 张，再加 上大、小王共 2 张，总共就是 14 张，最后不管取出什么牌都保证其 中一定有 4 张牌的花色相同。- 3 -8.小红带 51 元钱去买笔，有
6、单价分别为 2 元、3 元、4 元和 5 元四种价格的笔，小红每种价格的笔都至少买 2 枝。小红最多可以买（19）枝笔。解：首先每种价格的笔都买 2 枝，则：须支付钱数：（2345）228（元） 剩下钱数：512823 元 要想买笔的枝数最多，那么必须买便宜的笔，即买 2 元的笔，232111要么剩下的 23 元钱要么买 11 枝单价为 2 元的笔，要么买 10 枝单价为 2 元的笔和 1枝单价为 3 元的笔，此时买笔的枝数是最多的。最多可以买笔的枝数：421119（枝）9.下面的方格图中有三条线段，这三条线段都可以在图中进行平移（即沿着方格的格线上下或左右移动），在图中的任一条线段平移 1
7、格都称为平移“1 步”。如果将图中的三条线段通过平移，使每相邻两条线段的端点相连围成一个三角形，那么至少要平移（7）步。7.如下图，在 22 的方格中画一条直线最多可以穿过 3 个小方格，在 33 的方格中画一条直线最多可以穿过 5 个小方格。那么，在 66 的方格中画一条直线最多可以穿过(11)个小方格。解：在 nn 的方格中画一条直线最多可以穿过小方格个数的规律：2n1 个。本题n6，穿过小方格个数26111 个- 4 -10.将 0、2、3、5、8 五张数字卡片。任意抽取三张摆成三位数，那么摆成偶数的可能性是（）。85解：个位是数字“0”的偶数个数：4312 个；个位是数字“2”或“8”
8、的偶数个数：33218 个任意抽取三张摆成三位数的个数：44348 个 摆成偶数的可能性：481812 85二、解答1.老师和学生一共 44 人去参加义务植树活动。老师每人植 5 棵，学生每人植 2 棵，正好一共植了 100 棵。参加植树的老师和学生各有多少人？从正面看从上面看12.小明用一些小正方体摆了一个立方体，他从正面和上面看到的图形分别如下：小明摆这个立体图形至少用了（24）个小正方体。从上面看解：如图，“”处可以是空缺，故最底层最少只有 17 个，另外从“正面看”可知除最底层外最少有 7 个。 所以，小明摆这个立体图形至少用了 17724 个小 正方体。11.五年级某班有一些同学参加
9、了课外兴趣活动。参加音乐兴趣活动的占全班人数的；参94加美术兴趣活动的占全班人数的；两项活动都参加的有 8 人；两项活动都没参加的有 6 人；53这个班的同学一共有（45）人。解：如右图所示画出韦恩图，设全班有 x 人，则：xx68x 94 53x2 452x4594 53 86- 5 -解：假设都是学生，则：24488（棵） 1008812（棵） 老师：12（52）4（人） 学生：44-440（人）3. 某学校有若干名学生参加走进数学王国电视邀请赛，其中男生人数与女生人数的比为 8:5。后来又有 20 名女生参加报名参赛，这时女生人数占参赛总人数的，现在参赛的115学生共有多少人?解：20(
10、)96 人 96(1)176 人65 85 1154.参加今年国庆阅兵的徒步方队、装备方队和空中梯队共有 56 个。其中：空中梯队的个数是徒步方队个数的；装备方队个数的正好与空中梯队个数的相等。参加今年国庆阅兵76 51 21的徒步方队、装备方队和空中梯队各有多少个？解：设徒步方队的个数为 X 个，则：XXX56 X14 空：1412（个） 装备：1230（个）25 67 76 21 515.小熊、小马、小牛、和小鹿各拿一只水桶同时到一个水龙头前接水，它们只能一个接一个地接水。小熊接一桶水要 5 分钟，小马要 3 分钟，小牛要 7 分钟，小鹿要 2 分钟。解：（移补法）红色：70502（左右）
11、50603（上面）7000900016000（cm2）黄色：（705070-30）60216060219200（cm2）涂色：160001920035200（cm2）2. 一个领奖台是由三个长方体合并而成的，它的前后的两面涂的是黄色油漆，其它露出来的面涂的是红色油漆。（如下图所示）涂油漆的面积一共是多少平方厘米？21 360cm60cm60cm- 6 -（1）要使它们等候时间（等候时间包括接水时间）的总和最少，应该怎样安排它们的接水顺序？（2）它们等候时间的总和最少是多少分钟？解：（1）小鹿小马小熊小牛；（2）2+2+3+2+3+5+2+3+5+7=34（分）6.小明和爷爷两人沿着湖边散步，他们从湖边某地同时出发，同向而行。如果他们都慢走，小明走三圈就可以追上爷爷；如果他们两人都快走，小明走 6 圈就可以追上爷爷。已知他们两人快走的速度都比慢走每分钟多行 9 米，那么小明快走的速度是每分钟多少米？解：设小明慢走的速度为 X，那么爷爷的慢走速度为X32（X+9）:(X+9）=6:5 X=9 9+9=18 米/分32
