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1、 1 / 15常州市常州市 2015 届高三第一学期期末调研测试届高三第一学期期末调研测试数学试题 2015 年 2 月一、一、填填空空题题：本本大大题题共共14 小小题题，每每小小题题5 分分，共共计计70 分分请请把把答答案案填填写写在在 答答题题卡卡相相应应位位置置上上 1 设集合，则= 1,0,1A 0,1,2,3B ABI2 设复数（，i 为虚数单位） ，若，则的值为 3i 1imzm0m zzm3 已知双曲线的离心率为，则实数 a 的值为 2241axy34 函数的定义域为 2 2( )log6f xx5 函数的最小正周期为 ( )cossin3cos222xxxf x6 右图是一
2、个算法流程图，则输出的的值是 a7 现有 5 道试题，其中甲类试题 2 道，乙类试题 3 道，现从中随机取 2 道试题，则至少有1 道试题是乙类试题的概率为 8 若实数满足约束条件则目标函数的最小值为 , x y22, 1, 1,xy xy xy 2zxy9 曲线在点处的切线方程为 cosyxx2 2p p ，10已知函数，则函数的值域为 ( )22xf x 1,2x (1)yf x11已知向量，设向量满足，则的最大值为 1,1a1,1 bc 230acbcc 12设等比数列的公比为（） ，前 n 项和为，若，且与的 naq01qnS1344aa a6a43 4a等差中项为，则 5a6S 13
3、若不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值22()2cx yxxy0xy, x yc为 （第 6 题）开 始a 1a 2a +1a 64输 出 a结 束YN2 / 1514在平面直角坐标系中，已知圆，圆均与轴相切且圆心，与原点共线，xOy1O2Ox1O2OO，两点的横坐标之积为 6，设圆与圆相交于，两点，直线 ：1O2O1O2OPQl，则点与直线 上任意一点之间的距离的最小值为 280xyPlM二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过
4、程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知，2 3 3b c3ACp（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求ABC 的面积cosCsinB3 3b 16 （本小题满分 14 分）如图，四棱锥的底面 ABCD 是平行四边形，平面PABCDPBD平面 ABCD， PB=PD，PAPCCDPCO分别是，的中点，连结求证：MBDPCOM（1）平面；OMPAD（2）平面OMPCD17 （本小题满分 14 分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种
5、植物，相邻矩形区域之间间隔 1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图设矩形温室的室内长为（m） ，三块种植植物的矩形区域的总面积为（m2） xS（1）求关于的函数关系式；Sx（2）求的最大值SMOADBCP（第 16 题）3 / 1518 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，直线xOyC22221 (0)xyabab1 2e 过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点:10()l xmym RCFCAB（1）求椭圆的标准方程； C（2）已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交5( ,0)
6、2DBDAy1l1lBD于点，试探索当变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在直线上？若Pm2lP2l存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由 2l19 （本小题满分 16 分）已知数列（，）满足， 其中na*Nn146n1aa1, 115, 1 , 1630, 1, 3145,nndn aannd ，0d *Nn（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；1a 46ad46a（2）设集合 |, , ,116ijkMb baaa i j kijkN若，求证：；1 3a 1 4d 2M是否存在实数，使， ，都属于？若存在，请求出实数，；若不ad1 8153 40Mad存在，请说明理由x113(
7、17)第题3114 / 1520 （本小题满分 16 分）已知为实数，函数，函数ab，1( )f xbxa( )lng xx（1）当时，令，求函数的极值；0ab( )( )( )F xf xg x( )F x（2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数1a ( )( )( )G xf xg xb( )yG x定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求1x21,)x 12()0G xx出实数的取值集合；若不存在，请说明理由b数学（附加题） 2015 年 2 月21 【选做题选做题】在在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计分，共计 20
8、分请在答分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲已知 AB 是圆 O 的直径，P 是上半圆上的任意一 点，PC 是的平分线，是下半圆的中点.APBE求证：直线 PC 经过点.EB选修 42：矩阵与变换 已知矩阵满足：，其中是互不相等的实常数， 0 0a bMiiilM(1,2)iil(1,2)ii 是非零的平面列向量，求矩阵.11l21 1 MC选修 44：坐标系与参数方程已知两个动点，分别在两条直线和上运动，且它们的横坐标分别PQ1:lyx2:lyx （第 21-A 题）ABPO
9、E C5 / 15为角的正弦，余弦，.记，求动点的轨迹的普通方程.q0,qOMOPOQuuuu ruuu ruuu rMD选修 45：不等式选讲已知，证明：.0,0ab222222()(1)9abab aba ba b【必做题必做题】第第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 (本小题满分 10 分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的五种商品, ,A B C D E有购买意向.已知该网民购买两种
10、商品的概率均为，购买两种商品的概率均,A B3 4,C D为，购买种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.2 3E1 2（1）求该网民至少购买 4 种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望.hh23 （本小题满分 10 分）设个正数满足（且） n12,na aaL12naaaL*Nn3n（1）当时，证明：；3n 233112 123 312aa aa aa aaaaaa（2）当时，不等式也成立，请你将其推广4n 23341241 1234 3412aa aa aa aa aaaaaaaa到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归n*N
11、n3n12,na aaL6 / 15纳法证明常州市教育学会学生学业水平监测常州市教育学会学生学业水平监测参考答案及评分标准参考答案及评分标准一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分1 2 38 4 5 6127 7 0,13 ,66, U2p9 1081 9 10 11 12 13 14202xyp0,22663 42 248 565二、二、解解答答题题：本本大大题题共共6 小小题题，共共计计90 分分解解答答时时应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤15解：（1）因为，ABCp3ACp所以 2 分2BC
12、又由正弦定理，得， ，sinsinbc BCsin sinbB cC2 32sincos 3sinCC C化简得， 5 分3cos3C （2）因为，所以0,Cp216sin1cos133CC所以 8 分632 2sinsin22sincos2333BCCC（3）因为，2BC所以 10 分211coscos22cos12133BCC 7 / 15因为，ABCp所以2 2sinsin()sincoscossin33166()3339ABCBCBC 12 分因为， ，所以2 3 3b c3 3b 9 2c 所以ABC 的面积 14 分11969 2sin3 322294SbcA16证明：（1）连结
13、AC，因为 ABCD 是平行四边形，所以 O 为的中点 2 分AC在中，因为，分别是，的中点，PACOMACPC所以 4 分OMPA因为平面，平面，OM PADPAPAD所以平面 6 分OMPAD（2）连结因为是的中点，POOBDPB=PD，所以 POBD又因为平面 PBD平面 ABCD，平面PBD平 I面=，平面ABCDBDPOPBD所以平面 POABCD从而8 分POCD又因为，,平面，平面，CDPCPCPOPIPC PACPO PAC所以平面CDPAC因为平面，所以 10 分OM PACCDOM因为，所以 12 分PAPCOMPAOMPC又因为平面，平面，,CD PCDPC PCDCDPCCI所以平面 14 分OMPCD17解：（1）由题设，得， 6 分9007200822916Sxxxx 8,450xMOACBDP8 / 15（2）因为，所以， 8 分8450x27200720022240xxxx当且仅当时等号成
