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1、11.7 概率与数理统计概率与数理统计1)了解随机事件与样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系 与运算 2)理解概率的概念，了解条件概率与事件独立性的概念，掌握概率的基本性 质，会应用概率的加法公式、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式解决简 单的应用问题。 3)了解古典概型，会计算简单的古典型概率，会应用超几何概率公式与二项 概率公式解决简单的应用问题 4)理解一维随机变量的概念，了解分布函数的概念与性质，了解离散型随机 变量的概率分布与连续型随机变量的概率密度函数的概念，掌握应用分布 函数、概率分布、概率密度函数计算与随机变量相联系的事件的概率。 5)理解随机变量数学期望与方差的概
2、念，掌握随机变量函数数学期望的性质 与计算方法，了解标准差的概念。 6)理解二点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布及 它们的数学期望与方差。 7)了解矩、协方差与相关系数的概念，了解它们的性质与计算方法 8)了解总体、样本与统计量的概念，理解样本均值与样本方差的概念，了解样本均值与样本方差的简单性质，知道分布、分布与分布2 9)理解点估计的概念，会求简单的矩估计与最大似然估计，了解估计量的评 选标准 10) 了解区间估算的概念，会求正态总体中未知参数的置信区间 11) 了解假设检验的概念，会对正态总体均值与方差作显著性检验概率与数理统计是研究随机现象的数学工具，要求读者通过
3、复习初步掌握 有关概率与数理统计知识的一些基本概念，基本理论与基本方法，并解决一些 简单的应用问题。1.7.1 随机事件与概率随机事件与概率直观上可以这样认识：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事情称为 随机事件（简称为事件） ；概率是随机事件发生可能性大小的一种度量。记事件 A 的概率为，规定( )P A0( )1P A 必然事件（记作）与不可能事件（记作）是两个特殊的随机事件，规定： ，( )1P ( )0P A、随机事件之间的运算2随机事件通常用集合（样本空间的子集）形成来表达。复杂的随机事件 可以通过简单随机事件的运算来体现。随机事件之间的运算本质上是集合的运 算。 对立事件（或逆事
4、件）：事件 A 的对立事件“A 不发生” ，记作A 和事件：事件 A 与 B 的和事件表示“A 与 B 中至少有一个发生” （即 “A 发生或者 B 发生” ） ，记作 A+B（或）ABU 积事件：事件 A 与 B 的积事件表示“A 发生并且 B 发生” ，记作 AB（或）ABI 差事件：事件 A 与 B 的差事件表示“A 发生并且 B 不发生” ，记作 （或者，或）ABABAAB注：概率论把随机试验中全部可能出现的不同基本结果称为随机试验中的全部注：概率论把随机试验中全部可能出现的不同基本结果称为随机试验中的全部 基本事件或样本点，而把全部基本事件或样本点的集合称为样本空间。并记为基本事件或
5、样本点，而把全部基本事件或样本点的集合称为样本空间。并记为B、随机事件之间的关系 随机事件之间常常存在某种内在联系，这种联系在数学上称为关系。 包含：事件 B 包含事件 A 表示“当 A 发生时 B 必定发生” ，记作 （或）BAAB 相等：事件 A 与 B 相等表示“并且” ，记作ABABAB 互不相容（或互斥）：事件 A 与 B 互不相容表示“A 与 B 不可能同时 发生” ，记作。AB 对立（或互逆）：事件与对立表示“与有且只有一个事件发生” ，记作（或）ABAB完备事件组：事件构成一个完备事件组表示“两两互1,.,nAA1,.,nAA不相容，并且” 。当时，与构成完备事件组1.nAA
6、2n AA 相互独立：事件与相互独立的直观意义是“与是否发生相互不 影响” 。事件与相互独立的数学定义是：()( ) ( )P ABP A P BC、随机事件运算的性质 由于事件用集合来表示，因此集合运算的性质（例如交换率、结合率、分 配律等）全都是用于事件的运算。特别之处下列德摩根法则： 、ABABABABD、条件概率 在事件 A 发生的前提下事件 B 发生的概率称为条件概率，记作。(|)P B A 条件概率常用的计算公式为：，其中()(|)( )P ABP B AP A( )0P A 3当事件与相互独立时，(|)( )P B AP B(|)( )P A BP A、概率的计算公式 事件之间的
7、运算与关系通过下列公式反映概率之间的联系。求逆公式：( )1( )P AP A 加法公式：。当 A 与 B 互不相容时，()( )( )()P ABP AP BP AB()( )( )P ABP AP B 乘法公式：；当 A 与 B 相()( ) (|)P ABP A P B A()( ) (|)P ABP B P A B 互独立时，()( ) ( )P ABP B P A 求差公式：，当时，且()( )()P ABP AP ABAB( )( )P AP B()( )( )P ABP AP B全概率公式：如果事件构成一个完备事件组，且，1,.,nAA()0iP A ，那么1,.,in1( )(
8、) (|)nii iP BP A P B A贝叶斯公式（逆概率公式）：如果事件构成一个完备事件组，1,.,nAA且，那么：()0iP A 1,.,in( )0P B ，1() (|)(|) () (|)ii injj jP A P B AP A B P A P B A 1,.,in1.7.2 古典概型古典概型古典概型是一类最基本的概率模型 A、古典型概率：如果随机事件只可能产生有限个（记作 n）不同的试验结果， 且这些不同的结果出现具有等可能性，那么事件 A 的概率为：( )/P Am n 其中为事件所包含的不同试验结果的个数。这个概率称为古典型概率。m 计算古典概率的关键是处理“计数” 。除
9、了直接计数之外，常用的计数工具是排 列组合知识。 B、超几何概率公式：有一类古典概型值得引起特别的重视。设件产品中有 件次品，其中件是非次品，随机地从这件产品中任取件，则 件产品中恰有件次品的概率为：（代表取 n 个的所有组合；代表 k 个次品的( )kn k MN M n NC CP AC n NCkn k MN MC C 组合数） 这个公式称为超几何概率公式，它是由古典概率计算公式推得的。注：记：ii=1 2 3iA 第次试验中出现；，. . . 当 n 次试验中事件 A 在制定的 k 次试验中出现（下式是指定前 k 次出现） ， 在其余 n-k 次不出现的概率为：41111.(). ()
10、 (). ()(1)kn k kknkknP AA AAP AP A P AP App 共有种组合，因此总概率为。k nC(1)kkn k nC pp C、二项概率公式：如果做一次随机试验只可能是两个不同结果之一，那么称 这类随机试验为伯努利试验，通常把这两个结果称为“成功”与“失败” 。 记出现成功的概率为，则出现失败的概率为，其中。1p01p 设重复独立地做次伯努利试验，则次试验中恰出现次成功的概率为：，这个公式称为二项概率公式。( )1n kkk nP AC pp放回的摸球问题可以用二项概率公式来解决。1.7.3 一维随机变量的分布和数字特征一维随机变量的分布和数字特征随机变量是概率与数
11、理统计中最重要、最基本的概念，一切随机现象都可 以通过随机变量来描述，一维随机变量的取值范围（即样本空间）是实数轴（ ）或它的一个子集，它总是一个数集。, A、随机事件及其概率的表达：与以往用 A、B、C、 表达随机事件的形式不 同，引入随机变量 X、Y、Z、之后，随机事件常常可通过关于随机变量的等式或不等式来表达，例如，aXbaXbaXb，其中，一般地，随机事件总是可以表达成aXbab ，其中数集。xI,I 注意：直观上，我们将随机现象的每一种表现，即随机试验的每一个可能注意：直观上，我们将随机现象的每一种表现，即随机试验的每一个可能 观察到的结果叫随机事件。随机事件的结构本身有两种表达形式
12、：一种是观察到的结果叫随机事件。随机事件的结构本身有两种表达形式：一种是 数值型、一种是描述型，为了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在数值型、一种是描述型，为了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在 着的统计规律性，我们将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。着的统计规律性，我们将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。 实际中试验的结果不管是哪种形式，我们总可以设法使其结果与唯一的实际中试验的结果不管是哪种形式，我们总可以设法使其结果与唯一的 实数对应起来，将它转为数值型。这样，不管随机试验可能出现的结果是实数对应起来，将它转为数值型。这样，不管随机试验可能出现的结果是 否为数值型
13、，我们总可以在试验的样本空间上定义一个函数，使试验的每否为数值型，我们总可以在试验的样本空间上定义一个函数，使试验的每 一个结果都与唯一的实数对应起来。一个结果都与唯一的实数对应起来。随机事件表达形式的改变使得事件的内涵丰富了，例如，由与1X 的表达形式可知，这两件事件之间存在互不相容关系；由与2X 1X 的表达形式可知，这两件事件之间存在包含关系，由与1X 1X 的表达形式可知，这两件事件之间存在对立关系。1X 如果两个随机事件 X 与 Y 相互独立，那么，对任意两个集合，随机事件与总是相互独立的。12,I I 1XI2YI随着事件表达形式的改变，事件的概率相应地记作，P aXb，其中。一般
14、P aXbP aXbP aXbab 地，事件的概率可以记作，其中数集。()P xI,I 5B、一维随机变量的分布 引入随机变量之后，随机现象体现在随机变量取值的随机性上，通常称随 机变量取值的统计规律性为随机变量的分布。掌握了一个随机变量的分布， 也就能计算有关该随机变量的一切随机事件的概率，其中是任()P XI意一个数集，。,I 随机变量分布的形式有类，概率分布，概率密度函数与分布函数。概 率分布仅适用于离散型随机变量。概率密度函数仅适用于连续型随机变量， 分布函数则可用于一切随机变量。 离散型随机变量的概率分布：离散型随机变量只可能取有限个值或一串值，以下记作的概率分布可以用表格形式来表达
15、，通12,.,.kx xx。 常称为概率分布表的概率分布表为：X1x2x3x kx rP1p2p3p kp 其中，是的取值范围，一般按从小到大（沿数轴方向）排12,.,.kx xx列；。它们必定满足。()0;1,2,.kkpP Xxk1k kp 概率分布表中诸事件构成一个完备事件组。因此，由概率,1,2,.kXxk分布表可以计算任意随机事件的概率：;()kk k xIP XIp其中数集,I 连续型随机变量的概率密度函数：连续型随机变量 X 的取值范围通常是一个区间或若干区间之并。X 的概率密度函数是定义域为的实( )p x, 值函数，它必须满足： ( )0;p xx ( )1p x dx连续型随机变量的取值范围可以理解成。|( )0x p x 由概率密度函数可以计算任意随机事件的概率：( )p x其中数集()( ) lP XIp x dx,I 由上述概率计算公式可知，对于连续型随机变量：0()0P Xx其中是任意一个实数。这里需要注意
