公众满意,我们的追求

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1、12005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承 诺诺 书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛的题目是： C 题 雨量预报方法的评价 我们

2、的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 北京大学医学部 参赛队员 (打印并签名) ：1. 胡奇 2. 潘德林 3. 郑铮 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：指导小组 日期： 2005 年 9 月 19 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：22005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3公众满意，我们的追求摘要本题的内容就是对两种预测方法给出不同方式与角度的

3、评价方式。我们建立模型 逐步深入地讨论影响对预测方式评价标准的因素，给出两种预测方法的应用范围与适 用范围。在第一个模型中，对预测方法的评价必然需要对预测值与实测值的误差进行分析。 我们首先通过欧拉距离计算出绝对误差。随后，我们考虑到同样的预测能力对于小降 雨量的预测较之对大降雨量的预测更易取得较小的绝对误差，因此我们决定引入不同 降雨量绝对值对于绝对误差的影响权重，建立了预测误差权重模型，对欧拉距离进行 修饰。同时，我们考虑对每天四个时段的降雨预测的困难程度是不相同的，随着时间 的推移，对于降雨预测的准确度将会越来越差。我们建立了预测难度增长模型。引入 早期预测难度指数与预测难度增长因子，通

4、过比较对未来雨量的预测难度来衡量二预 测方法的优劣。故此，我们通过比较权重误差大小以及预测困难度增长速度两种方法 对预测方法进行评价。我们得到结论：第一种预测方法在早期预测中难度相对较大， 其预测难度上升较慢；第二种预测方法在早期预测中难度相对较小，其预测难度上升 较快。在实际预报中，降雨量总是被划分为不同的等级。根据这一事实，我们把上述的 数据评价模型转换为等级评价模型，根据级差来评价预测方法的优劣。在接下来的模型中，我们从公众的感受出发，考虑两种预测方式造成的误差给公 众带来的不满意程度对二者进行评价。我们认为，由于生活环境不同，农村居民与城 市居民对于预测误差的不满意度存在差别。根据题目

5、给出的经纬度范围，我们在地图 上精确寻找出各观察点所在位置及当地城市，农村分布情况，将 91 个观测点划分为城 市观察点与农村观察点分类讨论。我们根据资料认为，当降雨等级不同时，影响人们 对预测误差不满意度的主要因素不同。另外，由于不同时间段的降雨对人们活动的影 响不同，相应时段的预测误差给人们带来的不满意程度也不相同。最后，我们根据上述的评价，对两种预测方法的应用范围及改进给出了建议。4简介对于两种预测方法的评价，我们通过做预测点的等高线，得到 91 个测量点的预测 值，我们分别建立误差权重模型与预测难度增长模型通过比较相对误差大小，早期预 测难度指数以及预测困难度增长速度等指标对预测方法进

6、行评价。在实际预报中，降 雨量往往被划分为不同的等级，按照本题提供的分级方式，我们对两种预测结果进行 了分级，再次进行预测评价。建立了对两种预测方法的客观评价模型。当引入公众感受时，我们认为农村居民与城市居民对预测误差的感受是不同的， 根据题目给出的经纬度范围，我们在地图上精确寻找出各观察点所在位置及当地城市， 农村分布情况，将各观察点分成两类讨论，分别建立城市与农村居民对预测误差的不 满意度模型。我们同时引入了居民对各时段预测误差的不满意度差别，根据综合不满 意程度，对两种预测方式进行评价，依据不满意度对二者的适用范围提出建议。模型的建立假设：1.我们认为降雨量绝对值对于绝对误差的影响权重与

7、预测困难度的增长是干扰评 价准确性的最主要因素，其他因素可忽略。2.当考虑到人们的感受时，我们假设降雨只给人们带来不满意度，而且不满意程 度随降雨量的增加而增加，不考虑降雨给人们带来的正面感受。3.我们假设 S 形的逻辑斯蒂曲线能够较好地反映出在降雨量不断增加时，人们不 满意度的灵敏度变化情况。4.我们假设公众不满意度的等级划分是平均分布，逐级呈线性递增的。符号定义5符号意义E预测误差V降雨量数值（包含实测与预测）t时间k预测难度增长因子,abd逻辑斯蒂函数待定系数C时段的重要性参数y公众不满意度x降雨级别建立模型一.通过数据误差建立的评价模型1.误差权重模型评价两种预测方式，比较实测值与观测

8、点的预测值之间的误差可以认为是最有说 服力的方法，因此在建立模型的第一步，我们首先需要推知在观测点的预测值。利用 插值法，我们求得了从 6 月 18 日到 7 月 31 日各观测点四个时段的预测值。我们采用距离来描述两组预测值分别与实测值的相近程度。距离是描述样本间相 似性很直观的且应用性很强的度量。最常用的两种距离是欧拉距离和绝对距离：欧拉距离 1 221( ,)()pijaiaj ad x xxx（1）绝对距离 1( ,)pijaiaj ad x xxx（2） 由于欧拉距离更加体现了误差的均衡性，特别是在对大样本数据的处理中，均衡 性的地位愈加重要，在建立该模型时，我们采用了欧拉距离来衡量

9、误差。6根据该地区的降雨量预测数据，我们利用插值法推知 91 个观测点所在位置的降雨 量预测值，通过进行欧拉距离运算，我们得到两个预测方法距实测值的绝对误差（E） 。以下是利用插值法得到的在 6 月 18 日第一时段用方法一对于整个地区的降水的预 测值分布图。图 1.预测方法 1 12.3997005absoluteEe预测方法 2 22.5406005absoluteEe但是，降雨量的绝对大小对预测的绝对误差是有影响的，同样的预测能力对于小 降雨量的预测较之对大降雨量的预测更易取得较小的绝对误差，因此我们决定引入不 同降雨量绝对值对于绝对误差的影响权重。我们认为用相对误差代替绝对误差是较为

10、科学的，即用实测降雨量值的倒数作为权重。estimatereal related realVVEV（3） 可是，我们发现，很多时间段的实际降雨量为 0。为了得到相对误差，我们将实测 值与预测值数据全部加上一极小数值，于是相对误差为：a7estimatereal related realVVEVa（4）（+0.1）预测方法 1 12.4483005relatedEe预测方法 2 22.4687005relatedEe两预测误差的距离：0.0204005e（+0.2）预测方法 1 16.6551005relatedEe预测方法 2 26.7144005relatedEe两预测误差的距离：0.059

11、3005e这样消除了实测值为 0 造成的相对误差计算困难，当各统计数据分别加上 0.1 和 0.2 时，得到的评价结果一致。由于我们所加入的值很小，所以作此处理对相对误差影响 很小，不会影响对预测结果的评价，是必要的数学处理。因此根据对于相对误差的比 较，我们认为预测方法一较好。2. 预测难度增长模型另一个不可忽视的问题是，对每天四个时段的降雨预测的困难程度不是相同的。 下一时段的预测是以前一时段的预测为依据的，随着时间的推移，对于降雨预测的准 确度将会越来越差，距预测起始点时间越长预测难度越大。两种预测方法的预测难度， 同样作为评价二者的标准。由于对下一时刻的预测难度增长与该时刻的预测难度成

12、正 比，我们建立微分方程连续模型，利用误差随时段推移的增长来衡量难度的增长。related relateddEkEdt（5）积分得关于 A 的标准方程：()relatedEP Exp ktg（6） 方程（5） 、 （6）中 k 即为难度增长因子,而 P 我们定义为早期预测难度指数。可以看到，在对早期降雨量开始进行预测时，因为 值很小，两种预测方法中基本t()Exp kt相等，对预测误差的贡献很小。此时 P 的大小成为影响误差的主要因素。因此 P 代表8早期进行预测的难度。通过衡量 k 与 P，我们对两种预测方法进行评价。对 41 天中各 时段的预测相对误差进行拟合，我们得到两种预测方法的难度增

13、长因子：10.015433 20.015810k k 以及早期预测难度指数：10.910071 20.905155P P 据此我们可知，第一种预测方法在早期预测中难度相对较大，而随时间推移，其 预测难度上升较慢；第二种预测方法在早期预测中难度相对较小，其预测难度上升较 快。至此，我们运用两种模型对两个预测方法进行了评价，第一是通过比较相对误差 的大小，第二是通过比较相对误差增长速率大小。二.通过等级误差建立的评价模型（过渡模型）我们将降雨量数据根据题目所给的分级标准进行分级。这样评价预测准确度的形 式就发生改变，由于将降雨量数值划分为跨度逐级增大的不同等级，降雨量的绝对大 小对预测绝对误差的影

14、响就得以消除，因此，我们定义相邻等级间的差距为 1。相同等 级内的预测误差即被消除。做出等级误差的方差和，第一种预测方法：,第二种预测方法：13273S 23264S 据此判断，二者无显著差异，第二种预测方法略好。三.公众感受模型在模型中引入公众感受时，我们认为，理想状态下的天气预报是绝对准确的，任 何预报误差会产生公众不满意度。因此，我们在预测误差模型中引入公众感受时，只 考虑误差带来的不满意度。我们通过三个主要因素衡量不满意度：首先，我们认为农村居民和城市居民对于降水量预报误差所反映出的不满意度是 不同的。其关键在于，降水与农村居民赖以生存的农业生产是息息相关的，而对于城 市居民的日常生活

15、影响程度并没有如此之大，并且影响模式也不相同。其二，根据资料显示1,2,3，当降雨达到一定级别以上时，降雨将对居民的生命 财产安全造成危害，而在此降雨量以下时，降雨只对居民的日常生活和农作物收成产 生影响。因此降雨量在不同范围内，对居民的影响模式是不同的。其三，在一天之中的不同时段内，降水对人们的生活的影响程度是不同的。譬如 在上下班高峰时间降雨给人们带来的影响将远远大于午夜时分的降雨。9就此我们认为降雨预报误差主要通过以上三方面影响公众的不满意度。以下我们 将作详细分析。根据题目所给的经纬度分布，我们精确寻找到所考察地区与观测点的地理位置， 以及该地区的主要城市、农村分布情况。同时，我们通过查询资料4,5，将 91 个观 测点划分为城市观测