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1、112010 高考数学复习详细资料（精品）高考数学复习详细资料（精品）不等式的性质不等式的性质 知识清单： 1不等式的性质：(对称性或反身性);abba(传递性);abbcac，(可加性),此法则又称为移项法则;aba cb c (同向可相加)abcdacbd，(可乘性) . 0abcacbc，；0abcacbc，(正数同向可相乘)00abcdacbd，(乘方法则)00nnabnNab（）(开方法则)0,20nnabnN nab（）(倒数法则)110ababab，注意： 条件与结论间的对应关系，是“”符号还是“”符号；运用不等式性 质的关键是不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。 运
2、用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却 是我们今后研究和认识不等式的基本手段. 2定理 1：如果 a,bx|x 是正实数，那么（当且仅当 a=b 时取“=”号）.2ba ab注：该不等式可推出:当 a、b 为正数时,（当且仅当 a = b 时取“=”号）222 1122abababab即:平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数 2.含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数）： 3322aba bab由3332223()()abcabcabc abcabacbc 可推出3333abcabc(,);0abc 等式即可成立0abcabc 或时取等如果 a,b,cx|x
3、 是正实数，那么.3 3abcabc（当且仅当 a=b=c 时取“=”号） 3.绝对值不等式：11123123(0)ababab abaaaaaa时, 取等号注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大), 特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等. 课前预习1 （06 上海文，14）如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）0,0ab（A） （B） （C） （D）11 abab22ab| |ab2 （06 江苏，8）设 a、b、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（A） （B）|cbcabaaaaa1122（C） （D）21|babaaaaa2133 （2003 京春文，1）设 a
4、，b，c，dR，且 ab，cd，则下列结论中正确的 是A.a+cb+d B.acbd C.acbd D.cb da4 （1999 上海理，15）若 a（b+）2均不能成立aba11b1 a1D.不等式和（a+）2（b+）2均不能成立|1 |1 baa1 b15 （06 浙江理，7） “ab0”是“ab”的（ ）222ba (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件 6 （1） （2001 京春）若实数 a、b 满足 a+b=2，则 3a+3b的最小值是（ ）A.18 B.6 C.2 D.23437 （2000 全国，7）若 ab1，P，Q（l
5、galgb） ，Rlg（ba lglg 2111） ，则（ ）2baA.RPQ B.PQR C.QPRD.PRQ2010 高考数学复习详细资料（精品）高考数学复习详细资料（精品）不等式证明不等式证明 知识清单： 一、常用的证明不等式的方法 1比较法 比较法证明不等式的一般步骤：作差变形判断结论；为了判断作差 后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几 个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。 2综合法 利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和 不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些 已经证明过
6、的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。 综合法证明不等式的逻辑关系是：，及从已知12nABBBBL条件出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论。AB 3分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的 充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够 肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫 做分析法。 注意： （1） “分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件， 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因” ； （2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所
7、以常用分析法探索证明的途径， 然后用综合法的形式写出证明过程。 二、不等式的解法 解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变 形”并列的“不等式的变形” ，是研究数学的基本手段之一。 高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比 例。 1不等式同解变形（1）同解不等式（(1)与同解；f xg x( )( )f xF xg xF x( )( )( )( )（2）与同解，与mf xg x0， ( )( )mf xmg x( )( )mf xg x0， ( )( )同解；mf xmg x( )( )（3）与同解） ；f x g x( ) ( ) 0f xg
8、xg x( )( )( ( )00112一元一次不等式 解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的 基础，必须熟练掌握，灵活应用。情况分别解之。axbaaa分( )( )( )1020303一元二次不等式或分及情况分axbxca200()axbxca200()a 0a 0别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联 bac24 0 0 0 系二次函数的图象。 4分式不等式分式不等式的等价变形：0f(x)g(x)0，0)()( xgxf)()( xgxf。 0)(0)()( xgxgxf5简单的绝对值不等式 绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉 及
9、到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。 解绝对值不等式的常用方法： 讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值 符号，转化为一般不等式； 等价变形： 解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|0)，|x|ax2a2xa 或 x0)。一般地有：|f(x)|g(x)f(x)g (x)或 f(x)b，cd，则下列结论中正确的是（ ）A.a+cb+d B.acbd C.acbd D.cb daEG2、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求x0) 1(2mxmx的取值范围.m变式 1：解关于 x 的不等式头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/ 头头
10、头 头头 头头 头头 头 头头头 头)(0113Rmxxm变式 2：设不等式 x22ax+a+20 的解集为 M，如果 M1，4，求实数 a 的取值范围？EG3、求的最大值，使满足约束条件.yxz 2yx, 11 yyxxy变式 1：设动点坐标（x，y）满足（xy+1）（x+y4）0，x3，则x2+y2 的最小值为( )11A头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头B头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头C头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/ 头头头
11、头头 头头 头头 头 头头头 头D头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头10510217EG4、画出不等式组表示的平面区域. 0330402yxyxyx变式 1：点（2，t）在直线 2x3y+6=0 的上方，则 t 的取值范围是_头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头变式 2：求不等式x1+y12 表示的平面区域的面积头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头EG5、 （1）把 36 写成两个正数的积，当这两个正数
12、取什么值时，它们的和最小？ （2）把 18 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？变式 1：函数y =的值域为 头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头2m112m变式 2：设 x0, y0, x2+=1,则的最大值为22y21xyEG6、已知集合，求.06|2xxxA082|2xxxBBA变式 1：已知 A=x|x33x22x0，B=x|x2axb0且 AB=x|0x2，ABxx2，求 a、b 的值头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头变式 2：解关于 x 的不等式头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头)(0113RmxxmEG7、求证：cabcabcba222变式 1：己知都是正数，且成等比数列，cba,cba,求证：.)(2222cbacba变式 2：
