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1、勾股定理的证明勾股定理的证明【证法证法 1】 （课本的证明课本的证明）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长 为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个 正方形. . 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. . 即abcabba214214222， 整理得 222cba.【证法证法 2】 （邹元治证明邹元治证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条
2、直线上，C、G、D 三点 在一条直线上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形. 它的面积等于 c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90,DGCFAHEBabcabcabcabcbabababacbacba cbacbacbacbaababccABCDE EHA + GHD = 90. 又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的
3、面积等于2ba . 22 214cabba. 222cba.【证法证法 3】 （赵爽证明赵爽证明） 以 a、b 为直角边（ba）， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2. EF = FG =GH =HE = ba , HEF = 90. EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于2ab . 22 214cabab. 222cba.【证法
4、证法 4】 （18761876 年美国总统年美国总统 GarfieldGarfield 证明证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC 是一个等腰直角三角形，bac GDACBFEHPHGFEDCBAabcabcabcab c它的面积等于2 21c. 又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. A
5、BCD 是一个直角梯形，它的面积等于2 21ba . 22 21 21221cabba. 222cba.【证法证法 5】 （梅文鼎证明梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边 长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. D、E、F 在一条直线上, 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90. 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方
6、形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90. 即 CBD= 90. 又 BDE = 90，BCP = 90， BC = BD = a. BDPC 是一个边长为 a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形. 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则,21222abSbaabSc2122, 222cba.【证法证法 6】 （项明达证明项明达证明）cccbacbaABCEF PQMN做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所
7、示的多边形， 使 E、A、C 三点在一条直线上. 过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F 作 FNPQ，垂足为 N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证 RtQNF RtAEF. 从而将问题转化为【证法 4】 （梅文鼎证明）.【证法证法 7】
8、（欧几里得证明欧几里得证明） 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过 C 作 CLDE， 交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于2 21a， GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 =2a.同理可证，矩形 MLEB 的面积 =2b. 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 222bac ，即 222cba.cbacba ABCDEFGHMLK【
9、证法证法 8】 （利用相似三角形性质证明利用相似三角形性质证明） 如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D. 在 ADC 和 ACB 中， ADC = ACB = 90， CAD = BAC， ADC ACB. ADAC = AC AB，即 ABADAC2.同理可证，CDB ACB，从而有 ABBDBC2. 222ABABDBADBCAC，即 222cba.【证法证法 9】 （杨作玫证明杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba）， 斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的
10、正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作 AFAC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. 过 B 作 BPAF，垂足为 P. 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC. 又 DHA = 90，BCA = 90， AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtAPB RtBCA. 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = ba. RtDGT RtBCA , RtD
11、HA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90，DHF = 90， GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH 是一个边长为 a 的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +（ba）. 用数字表示面积的编号（如图），则以 c 为边长的正方形的面积为ABDCacb987654321PQRTHGFEDCBAabcabccc543212SSSSSc abaabbSSS21438= a
12、bb212，985SSS， 82 4321SabbSS= 812SSb. 把代入，得98812 212SSSSbSSc= 922SSb= 22ab . 222cba.【证法证法 10】 （李锐证明李锐证明） 设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba），斜边的长为 c. 做三个边 长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在 一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. TBE = ABH = 90， TBH = ABE. 又 BTH = BEA = 90， BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT =
13、 ba. 又 GHF + BHT = 90， DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GHF = DBC. DB = EBED = ba， HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. 即 27SS . 过 Q 作 QMAG，垂足是 M. 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE = QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtABE RtQAM . 又 RtHBT RtABE. 所以 RtHBT RtQAM . 即 58SS . 由 RtABE RtQAM，又得 QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR
14、= 90，AQM = BAE， FQM = CAR. 又 QMF = ARC = 90，QM = AR = a， RtQMF RtARC. 即64SS .MHQRTGFEDCBAcba87654321 543212SSSSSc，612SSa，8732SSSb，又 27SS ，58SS ，64SS ， 8736122SSSSSba=52341SSSSS=2c，即 222cba.【证法证法 11】 （利用切割线定理证明利用切割线定理证明） 在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E，则 BD = BE = BC = a. 因为BCA = 90，点 C 在B 上，所以 AC 是B 的切线. 由切割 线定理，得ADAEAC2=BDABBEAB=acac
