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1、1 0 二中等数学招 脚甲,烈甲甲 只. 甲 , ,. 口甲 函数在开区间上的最大值与最小值文泽新编全日制十年制学校高中 课 本数学第四册,在“导数和微分的应用”一章中,介绍了“求 闭区间a,b上的可导 函数f( x)在a,b上 的最大值与 最小值”的方法。此时函数f(x )在a,bl上 连续,必有最大值与最小值存在。对于 定义在非闭有限区间(”,b),a,b),(a,b上和无穷区间(一O O,十c o),(一o o,b ),(一o o,b,(a,+o o),a,+o o)上的函数,书中只考查了 当它们出现在应用问题 中,且由问题 的 实际情况断定它们“在定义域开区间内”确有最大值或最小值存在
2、的情形。而在该章的 习题九中,却给出了一个一般函数y二5一3 6x+3x2+4x3在无穷区间一2,+O O)上求最大值、最小值的作业,使学生感到 无从. 人手。故本文(函数图象两端点的 圆圈,表示函数 在该点无定义)。因 此,与闭区间上 同 一问题 相比较,必 须先 研究函数f(x )在开区 间上是否有最大值或最小值存在?其次是当它们存在时,如何求出?在闭区间a,b上,我们是将可 导函数f(幼在( a,b )内的 驻 点.上 的值,同f(的 与f(b )相比较而得到其最大值与 最小值的。在开 区间( a,b )上 讨论 这个间题时,一个 自然的想法就是可否补充定义函数f(x)在区间端点 的值f
3、(a)和f(b),使f(x )扩充为a,b上 的连续函数,然后再除去那 种最大值或最小值仅为f( a)或f(b )的情形。例1.研究函数了二 x3一3x在(一2,3 )_巨的最大值与最 小值。拟对一般可 导函数在开区间上的最大值与最小值间题,作一简单的介绍。首先注意到,开区间上的可导 函数f(二)未必在(a,b)上有最大值与最小值。图1中依次给出了可导函数f( x)在(二,b )上仅有最大值、仅有最小值和既无最大值也无最小值的例子/ / / / / . . . 户汉/ / / ! ! ! ! ! l l l l l。一一尽以以石石 厂厂侧侧侧侧了了l l l ll l l l l l l解丫y
4、=护一3x在(一c o,十c o )上可 导从而连续,故可作为一2,3上的连续函数来考查。又, . y尹=3 x2一3二3(xZ一z),., .y在(一2,3 )内有驻 点翔=一1,xZ二1.比较以下四个函数值:y(一2)=一2,y(一1)=2,y(1)=一2,y(3)=1 8。易知,y在一2,3上的最大值在右端点达到,心心心图2933丰 第 一期最小值在左端点和驻点x:二1达到。故此函数y在(一2,3)上仅有 最小值y(1 )二一2,而 无 最 大值(图2)。然而,开区间(。,b )上的可导涵数,未必都能扩充为闭区间a,b上的连续函数。例 如,函数在十O O只有左极限。对于基本初等函数,可知
5、11一1X碱. 一 O口七Lc只人=一厄111 ,生X夕+CO段r c议K二万112一1X一钾一C劝a皿二0(a1)11,一,axX夕+CO0(0x。且x,x。.这里把数轴上 的一个点x。,形象地看作有两“侧”,左“侧”为x。一。,右“侧”为x。+O(当x。=0时,习惯 上用一。和十O分别表示0一O和O+0 )。特别地,当我们把一c o和+c o形象地看作数轴上“最左端”和“最右端”的“点”的话(分别称 为负无穷远 点和 正无穷远点),则函数f (x )在一c o只有右极限,我们努别 用记号f(x。一。)和f(x。+0)表示 函数f( x)在x。点的 左极限和右极 限,用f(一c o)和f(+
6、c o)表示f(劝在二 无穷远点的极限。由单侧极限的定义可知,当函数f(x )在x。点连续时,必有f(x。一。)=f(x。+o)=f(x。),第二 种拓广得到所谓“无穷大量”的概念。若对于任意给出的正数M(不 论多么大),只要x充分接近点x。(可以从单侧接近),不等式f (x)M(,)恒成立,则称 函数f (x)在 点x。处为正无穷大 量,记 为1imf(x)=+c o.X.瑞 沪 盆。上述定义中,若 不等式()改为f(x)1)l一1111X会知一CO11121葱+011沮1X卜十COa盆=+c o(O1)10获二x=+o o;11JllX一十O10义:x=+O O(00)容易知道,. 若乞二
7、刃f(x)=于 0(一0)11niX一X。_丛_=十c o(一c o).f(x)反之亦然。这里,f (劝+0(一。)令冷f(x)0(O,1一xO。当x,+o时,1一x1,x(1一x)+0,当二、,1一0时,1一:+0,x(1一x)于+0,因为在端点补充定义的函数值恰 为该点的(单侧)极限值。A、B地位相当,亦 可为B=一c o,以下 类似。1983年第 一 期: y(+0)=y(1一0)=+c o.由(v)注 意:由y尹中含有因 式x;,故知y(0 )可知,y在(o,ZX一l1 )上只有 最 小值。又y了=:一音为驻 点。y的 最小0不是极值。但y(1)=典为 极大 值,类乙xZ1一入)“、I
8、_/1、,0、 值为y灭言)=4(图3)。注 意:由于 函数在(0,1 )驻点,且易知y在此点左负右正,例2,故y在(一1,2 )上 只有最 大值y(1)11, 2内仅有一个例4.研究 函数y=x“一6x+4坛x在一_/1、 战y几一凡-万、乙I( 0,2.5)上的最 大值与 最小值。解, . y(+0)=一c o,. .y在(0,2.5)为y的极小值,则也必 为y在(0,1)上的最小值。一般 说来,如 果先计算y尹且在所考察的区 间内汉有一个驻点x。时,则当y在x。点上为极大(小)值时,也必 为最大(小)值;当y在x。点上不取极值时,函数在此区间上无 最大值及最小值(图4)。例5.研究 函数
9、y=万万万.x 0扮扮1 1 1卜丫叮叮节节节婉艺艺,劣劣了了I I I 州州r r r l l l l l l l l l ! ! ! ! ! ! ! ! !上无最小值。又y尹二2 x一6+斗X2(xZ一3x+2)X2(x一1)(x一2)驻点为x工二1,x,二2.比较y(1)“一5,y(2)一4(102一2)亡一5。2,y(2.5一0)Jl_535_、 =y( 2。5)二4 In答一半止242。5)1 1 122 2 2图44x3一3x412一5.1,知y在(0,上 只有最大值y(1)(图6)。注意:y( 3)=4In3一9=一4。6y(1)在(一1,2)上的 最 大值与 最小值。解易知y(
10、一1+0 )二y(一1 )7 -一万,故若在(o,值。例5。3 )上考察时,y无最大值与最 小研究函数y=X+号n星二三- 在2+Xy(2一0)又y尹=xZ一x,二y(2)二一告:二x,(i一x),驻点为(一2,2 )上的 最大值与最小值。解. x一2+0时2+x+0,2一X弓卜4,从而2一X2+X)+c o,. .y(一2+0 )=+c o。xi“0,一1.将y(。)二。、y“,二击与端点值比较,可知y在(一,“)上早有同样,x2一O时,兰二三、,十。,:.y( 2一。 2+X (极限)最大值y(1)=矗,但无 最小值(图5。=一c o.故y在值(图7 )。(一2,2 )上无最大值与最小r一
11、丫节图7. 、 、5图川1!11.以.中等数学 一一- -. 一一.,云. 一自 . . 州. 曰. . 曰 = . . . . . 翻曰一 一,注 意:丫y /=1一xZ4一xZ., .y在(一2,2)内有二驻点x,=一1,xZ二一2.易知y(一1 )为极小值,例0.y(1)为极大值。研 究 函数y二5一3 6x+3x2+4X3在(一2,+c o)上 的最大值与最小值。-二_ _。,53 6.3韶:y二x“共一共+兰十4),当 、X.X一X_,_._53 6.3x争十c o 时,x”令士c o,共一答+兰+4)4 . X。派X: y(+c o)二+c o,故y在(一 2,+c o)上无 最大
12、值。y(一2+0)=y(一2、=57.又y尹=一36+6x+12x“=6(Zx“+x一6)=6(x+2) (Zx一3),在(一2,+c o)内仅有一驻点二 一粤,故y在(一2,十c o)内 一一2”-一*一目:、_13、115,_、 仅有最小值y气首)一三童生(图“)。(一c o,十c o)上没有最大值与最小值(图8)。一般地,多项 式函数y二aox,+砚lx“ 一1+a。 一IX+a。 ,当n为奇数时,在(一c o,十c o)上 无 最 大值与 最小值。当n为偶数时,若a。,在(一c o,十c o)上 仅有最 小值;若a。e一“o,故y在二2,+c o)上有最大值y(一2)“y(1)=eZ,
13、但无最 小值(图9)。注 意:y(一c o)=+c o,敌y在(一c o,+c o)上 无最大值与最小值。极小值(想 一想 为什么了)2。)本题若在一2,十c o)上考 察,即为高中数学第四册习题九中的习题。由于y(+c o)二十c o,故仍无 最大值存在。端点一2为y的驻点,故只须 比较y(一2 )“5 7,例8.研究函数了=xe图9x2“在(一c o十c o)上的最大值与最小值。解,: y(一c o)=y(十c o)二Ox2又y产二e(1一xZ)驻点 为xl二1154,仍得到 与例6相同的结论。xZ=1y(一1)二一e一告,y(l)一e- 、,了3一2了t .、 y一般在半闭区 间上考察时
14、,均可类似处理。3“)若在(一c o,+c o)上考察,则因y(一o o)=一c o,y(十c o)二+c o,故y在,一一一-, 不难用定义直按证明。这两个极限不难 用LH。叩ital法则 求得,但已超出高中课本讲授范围。1983年第 一 期故知y在(一c o,十c o)上有最大值y(l )=e一含二二. r、*,、_。一去,二、n、ZKJ毛又门、口少、一1,一一气阵IU夕.。总之,函数在非闭区 间上 的最大值与最小值间题,只需用开的一端端点的函数单侧极限值,代替函数的端点值的地位,则可如同闭区间上同一问题一样加以讨论,但是要除掉最大值或最小值仅仅为这一单侧极限值的情形。图1 0森添扁态威滋
15、厂仍添 鹿添罗育叨,。一,、么,J今右是参 迈 翻沉二于二压耳了甲甲罗丫 节,梦丫伊吧罗 微积分学的新发展黄乘规现在,全世界每年发表的与微积分学有关的数学论 文有 几万篇,就是这样一种群众性的努力,遂使微积分学迅速向前发展。本文不打算 也不可能全面地介绍微积分学的进展,只想就一个方面,即从非标准分析的兴起谈谈微积分学的发展。世所公认,微积分学的一 般理论,是在十七世纪后半叶 中,首先由牛顿,稍后由莱布尼茨各自独立地提出来的。但是,在他们之前,在特殊情况下寻求面积,体积和切线,不论在欧洲还是在中国,已经走过了漫长的历史早期的微积分学,一方面在应用中不断取得辉煌成果,另一方面又只是一种描述 性质的
16、学科。如何为这门新生的学科 建立巩 固的基础呢了牛顿没有固定的主张,他有时采用无限小,有时采用极限,有时采用物理直观来论证微积 分学的问题。在欧洲大陆上,莱布尼茨及其追随者,在一阶和高阶无限小 微分的基础_卜发展了微积分的理论。他们所采用的记号,有着技术上的优越性,在欧洲大陆上广泛传播,促进了微积分理论的发展和应用。另一方面,由于采用 了无限小,在微积分理论的内部出现了逻辑生的困难。当时,大主教贝克莱就玫击:“无限小是逝去的量的幽灵”。关于这个逻辑上的困难,我们将在下文中译细朋以介绍。微积分学必须寻找新的基础。经 过了达 兰贝尔、拉格朗日等人的相继努 勺,到十九世纪,哥 西首先在极限概念的基础上对微积 分理论给以合理的说明。哥西的方法,后来又由
