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1、高一数学 闸北新王牌1第一章：集合与命题第一章：集合与命题【知识梳理知识梳理】一、集合一、集合1.1.集合的概念：集合的概念：（1）集合的描述性概念：某些确切指定的对象组成的整体叫做集合，简称集.（2）表示：用大写英文字母A、B、C表.（3）分类：按元素个数分：空集、有限集（一元集、多元集）、无限集。空集：不含任何元素的集合，记作，如：01|2xRx规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。按元素性质分：数集、点集、向量集、人名集、地名集等几个重要的集合：表示_；表示_； |1Ax yx |1By yx表示_；表示_.( , )|1Cx yyx(0, )|DayyRr2.2.元素的概念
2、：元素的概念：（1）定义：集合中的每个对象叫做这个集合的元素.（2）表示：用小写字母表示.cba、（3）特性：确定性、互异性、无序性.3.3.常用符号：常用符号：（1）_，_；（2）_；（3）_； | （4）_.( )card A 4.4.元素与集合的关系：元素与集合的关系：（1）或两者必居其一；（2）,.aAaAUxAxC AUxC AxA5.5.集合的表示方法：集合的表示方法：（1）描述法：文字描述：把集合中的元素的公共属性用自然语言描述出来，写在大括号内.符号描述：为典型元素，为公共属性. |x xPx，P（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.（3）图示（像）法：用适当
3、的图形表示集合，如文氏图、数轴上的点、函数的图像、方程的曲线等.高一数学 闸北新王牌2（4）特殊的数集：自然数集：_、正整数集：_、整数集：_、负整数集：_、有理数集 ：_、实数集：_、无理数集_、复数集_.【提问】何时用列举法？何时用描述法？集合的元素个数有限且不能太多时或有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。如：集合.,5 , 23 ,2232yxxyxx有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法奎屯王新敞新疆如：集合；集合1000以内的质数.1| ),(2 xyyx6.6.韦达定理：韦达定理：若是一元二次方程的两个根，
4、则12,x x20axbxc1212bxxa cx xa 7.7.集合之间的关系：集合之间的关系：（1）是的子集:若中任何一个元素都属于，则叫做的子集，记作或，ABABABABBA读作“包含于”或“包含”，即，有，ABBAABBAxA xB用文氏图表示：或或.ABA (AAB )AB性质：；若且，则.A AAABBCAC（2）是的真子集：若是的子集，且中至少有一个元素不属于，则叫做的真子集，ABABBAAB记作或，读作“真包含于”或“真包含”，即ABBAABBA，且，使，ABBAAByB yA用文氏图表示：或.ABA AB ()性质：；若且，则.()A ABBCAC（3）与相等：，且ABABA
5、BBA【注】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.（4）容易混淆的符号：和； 与； 与.0 8.8.集合的运算：集合的运算：（1）交集概念：由集合和集合的所有公共元素组成的集合叫做和的交集，记作，即_ABABABIAB I _；高一数学 闸北新王牌3由定义知：_，_.ABIAABIB文氏图表示：性质：_；_；_.A IAA IABIBAI常用结论：.ABAABI（2）并集概念：由所有属于集合或者集合的元素组成的集合叫做和的并集，记作，即ABABABUAB U _；由定义知：._AABBABUU，文氏图表示：性质：；. .=AAUAAAUABBAUU常用结论：.ABBABU（3）补集全集
6、：由所有要研究的各个集合的全部元素组成的集合，叫做全集。一般用U 或I 表示。特点：具有相对性.补集：为全集，是的子集，则由中所有不属于的元素组成的集合叫做在全集中的补UAUUAAU 集，记作，即_.uC AuC A 文氏图表示：性质：.()_)_()_ACuAACuACu CuAIU；(；摩根定律：. ._uuuuC AC BC AC BIU、9.9.重要结论：重要结论：（1 1）若，则的子集数为；的非空子集数为；的真子集数为；( )card AnNA2nA21nA21n的非空真子集数为.A22n（2）. .BAABAUI如图，)()()()(ACBBCABACBAUuuuIUIUUUI B
7、AU高一数学 闸北新王牌4（3）.UUuuABC AC BABAABBAC BC ABU IUIU（4）分配律：、. .)()()(CABACBAIUIUI)()()(CABACBAUIUIU（5）容斥原理：若为有限集时，则. .AB、)()()()(BAcardBcardAcardBAcardIU（6）集合能否用表示？ |Ax axb , a b若，则不存在；若，则不存在；若，则。ab , Aa b ，ab , Aaa b，ab , Aa b（7）设，则满足条件的的个数是；1212 , ,()mta aaMa aatmLLM2t m设，则满足条件的的个数是；1212 , ,()mta aaM
8、a aatmLLM21t m设，则满足条件的的个数是； 1212 , ,()mta aaMa aatmLLM21t m设，则满足条件的的个数是.1212 , ,()mta aaMa aatmLLM22t m二、命题与条件二、命题与条件1.1.命题：命题：（1）定义：可以判断真假的语句叫做命题，命题由条件与结论构成.特点：陈述句.（2）分类：真命题、假命题.（3）判断真假命题的方法：确定真命题要证明，确定假命题只要举出一个反例即可.2.2.推出关系：推出关系：（1）定义：若由命题成立可得到命题成立，则称由推出，记作，读作“推出”.换言之，表示“以为条件，为结论”的命题是真命题.（2）性质：如果，
9、且，那么，叫做与等价；如果，且，那么.3.3.命题的四种形式：命题的四种形式：互逆（1）形式：一个命题用条件，结论来表示就是“若，则”，那么互 否互 否原命题：若，则；逆命题：若，则；互为逆否否命题：若，则；逆否命题：若，则.互逆（2）四种命题之间的关系原命题逆命题逆否命题否命题高一数学 闸北新王牌5原命题和逆命题、否命题和逆否命题的关系我们称之为互逆；原命题和否命题、逆命题和逆否命题的关 系我们称之为互否；原命题和逆否命题、否命题和逆命题的关系我们称之为互为逆否.4.4.等价命题：等价命题：若，且，则记作，叫做与等价.ABABABAB【注】原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与否命题是等价命
10、题.5.5.命题的否定：命题的否定：命题的否定就是对这个命题的结论进行否定.（1）命题的否定形式与原命题真假性相反；（2）与否命题的区别：命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件与结论；一个命题与它的否定形式是完全对立的，而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系.（3）常见的关键词（量词或判断词）的否定形式：且_； 或_；都是_；都不是_； 至多n个_；至少n个_；存在一个_； 任意一个_；一定是_.6.6.充要条件：充要条件：（1）充分条件若条件足以使事件成立，则称条件是事件的充分条件，简称是的充分条件，记作.（2）必要条件若没有条件事件一定不成立，则称条件是事件
11、的必要条件，简称是的必要条件，记作（等价于）.【注】若，则是的_条件，是的_条件；若是的必要条件，则是的_条件；是的必要条件的必要条件是_.（3）充分不必要条件若，且推不出，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件.（4）必要不充分条件若，且推不出，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件.高一数学 闸北新王牌6（5）充要条件：若既是的充分条件，又是的必要条件，则称是的充要条件，记作.（6）既不充分也不必要条件：若推不出，也推不出，则称是的既不充分也不必要条件.7.7.子集与推出关系子集与推出关系设具有性质具有性质，则. |Aa a |pBb b，qABpq“”“”（1）“是的_条件”；AB“”pq（2）“是的_条件”；AB“”pq（3）“是的_条件”；AB“”pq（4）“是的_条件”；AB“”pq（5）“是的_条件”；AB“”pq（6）“且”“是的_条件”.ABBApq8.8.哪些命题宜用反证法？哪些命题宜用反证法？答：否定性命题宜用反证法.三、考点三、考点集合是中学数学的一个最基本的原始概念，命题是高中数学的主要语言呈现方式，集合与命题共有6 个大知识点，
