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1、材 材 材 材 料 料 料 料 力 力 力 力 学 学 学 学 工 工 程 程 力 力 学 学 教 教 研 研 室室第三章 扭 转 1 概 概 述述变形特征变形特征：纵向线倾斜一个角度纵向线倾斜一个角度 ，称为称为剪切角 剪切角 (或称剪应变(或称剪应变)；)；两个横截面之间绕杆轴线发生相 两个横截面之间绕杆轴线发生相 对转动对转动 ，称为称为扭转角扭转角。 。 受力特征受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内， 作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向相反。 M M 2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 ? 1、各圆周线绕轴有相 对转动，但形状、大 小及两圆周线间的距 离不变。 ? 2、各纵向线仍为直
2、线，但都倾斜了同一 角度，原来的小矩 形变成平行四边形。 横截面上没有正应力。 横截面上必有存在，其 方向垂直于圆筒半径。 每个小矩形的切应变都等于纵向线倾斜的角度，故圆筒 表面上每个小矩形侧面上的均相等。 :切应变 直角的改变量 a c d dx b dy 无正应力 无正应力 横截面上各点处，只产 横截面上各点处，只产 生垂直于半径的均匀分布的剪 生垂直于半径的均匀分布的剪 应力应力 ，沿周向大小不变，方 ，沿周向大小不变，方 向与该截面的扭矩方向一致。向与该截面的扭矩方向一致。 微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：M e n n dA n n M e T T r dA A =
3、= A A dA r 0 r = 0 r 0 2 r = 2 0 2 r T = 0 2A T = L r L = L r = T 0 2A T = G 剪切胡克定律 剪切胡克定律 G:切变模量 切变模量 一一、外力偶矩的计算 外力偶矩的计算 在工程实践中，外力偶矩往往不是直接给出的。而直接给出的 在工程实践中，外力偶矩往往不是直接给出的。而直接给出的 往往都是轴所传递的功率和轴的转速。例如：下图中，外力偶矩没 往往都是轴所传递的功率和轴的转速。例如：下图中，外力偶矩没 有给出，给出的仅仅是电动机的转速和输出的功率。如果我们要分 有给出，给出的仅仅是电动机的转速和输出的功率。如果我们要分 析传
4、动轴中某点处的应力情况，首先必须知道A端皮带轮上的外力 析传动轴中某点处的应力情况，首先必须知道A端皮带轮上的外力 偶矩，下面我们来看看如何根据电动机的转速和输出功率来求解外 偶矩，下面我们来看看如何根据电动机的转速和输出功率来求解外 力偶矩力偶矩 M M e e 的大小。的大小。 A B 3 传动轴的外力偶矩 . 扭矩及扭矩图已知：电动机通过皮带轮输给已知：电动机通过皮带轮输给ABAB轴的功率为轴的功率为P P千瓦。AB轴 千瓦。AB轴 的转速的转速n n转/分。 转/分。 则： 电动机每秒钟所作的功为：则： 电动机每秒钟所作的功为： m N P W = 1000 （a） 设电动机通过皮带轮
5、作用于AB轴上的外力偶矩为M 设电动机通过皮带轮作用于AB轴上的外力偶矩为M e e 则：M 则：M e e 在每秒内完成的功为：在每秒内完成的功为： ） （ m N M n W e = 60 2 (b)由于由于M M e e 所作的功也就是电动机通过皮带轮给AB轴输入的功所作的功也就是电动机通过皮带轮给AB轴输入的功 故： 故： W W = min / 9549 r KW e n P M = 如果功率N以马力为单位，代入c式则可得：如果功率N以马力为单位，代入c式则可得： min / 7024 r e n P M 马力 = 将(a)、(b)两式代入上式，于是求得： （Nm） (c) （Nm）
6、即外加力偶矩与功率和转速的关系即外加力偶矩与功率和转速的关系 m N n P M r kW e . 10 55 . 9 min / 3 =m n m n A B (a) 二、扭矩 二、扭矩 扭矩图扭矩图 n x n T m I I T +右手定则右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相 同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若 扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩 为正，反之为负。 扭矩符号规定： m I T I m I I T m I T I m I I T T + T传动轴如图所示，主动轮A输入功率传动轴如图所示，主动轮A输入功率P P A A =50kW，从动轮=50kW，从动轮 B B、C C
7、、D D 输出功率分别为 输出功率分别为P P B B = =P P C C =15kW，=15kW，P P D D =20kW=20kW，轴的转速，轴的转速 n n=300r/min，计算各段轴上所受的扭矩并作其扭矩图。=300r/min，计算各段轴上所受的扭矩并作其扭矩图。 解：解：1、计算外力偶矩 、计算外力偶矩 m N 637 9549 m N 5 . 477 9549 m N 1592 9549 = = = = = = = n P M n P M M n P M D D B C B A A B C A D M A M B M C M D 例题 例题 例题例题 3.1 3.1 ? ?m
8、 N 637 m N 5 . 477 m N 1592 = = = = D C B A M M M M 2、计算各段轴的扭矩 2、计算各段轴的扭矩 B C A D M A M B M C M D 1 1 2 2 3 3 应用截面法将横截面1-1处假想的截开为二，如图，并保留 左半部分为研究对象 M B 1 1 x T 1 m N M T T M M B B x = = = 5 . 477 0 0 1 1 x B C M B M C 1 1 2 2 T 2 m N M M T T M M M C B C B x = + = = + = 955 2 5 . 477 0 0 2 2 D M D 3
9、3 T 3 x m N M T T M M D D x = = + = 637 0 0 3 3 同理可得：同理可得：横截面3-3处的扭矩T 横截面3-3处的扭矩T 3 3 也可以利用3也可以利用33截面左边的受力平 3截面左边的受力平 衡来解决。衡来解决。 m N M M M T T M M M M A C B A C B x + = = + + = 637 0 0 3 3 B C A M A M B M C 1 1 2 2 3 3 T 3如果不画坐标轴，那么一定要标明正、负号。在水平 如果不画坐标轴，那么一定要标明正、负号。在水平 线之上为正，在水平线之下为负。 线之上为正，在水平线之下为负
10、。 m N 5 . 477 m N 955 m N 637 x ) ( n n M T 0 目录目录 3、传动轴的扭矩图3、传动轴的扭矩图图示圆轴中，各轮上的转矩分别为m A 4kNm， m B 10kNm, m C 6kN m，试求11截面和22截 面上的扭矩，并画扭矩图。 例题 例题 例题例题 3.2 3.2 ? ? A m B m C m 1 1 2 2 轮 轮 轴轴轴承轴承 6KNm 4KNm一圆轴如图所示，已知其转速为n300转分，主动轮A输入的功率为N A 400KW，三个从动轮B、C和D输出的功率分别为N B N C 120KW，N D 160KW。试画出此圆轴的扭距图。 例题
11、例题 例题例题 3.3 3.3 ? ? 1 1 2 2 3 3 B m C m A m D m A m C m B m D m 轴的转向轴的转向 B C A D 3.82kNm 7.64kNm 5.10kNm 平衡吗？ 平衡吗？ a c d dx b dy 切应力互等定理 x y z dx dy dz 根据力偶平衡理论 dy dxdz dx dydz ) ( ) ( = = 在相互垂直的两个平 面上，切应力必成对 出现，两切应力的数 值相等，方向均垂直 于该平面的交线，且 同时指向或背离其交 线。 ? 不论单元体上有无正应力存在不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是成立的切应力互等定理
12、都是成立的。 。 ? 因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料的性能无 与材料的性能无 关关。所以不论材料是否处于弹性范围所以不论材料是否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的切应力互等定理总是成立的。 。 ? 若单元体各个截面上只有切应力而无正应力若单元体各个截面上只有切应力而无正应力，称为纯剪切状态称为纯剪切状态。试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上 试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上 的切应力是否正确。 的切应力是否正确。 kN 10 kN 20 kN 10 kN 20 kN 30 kN 50 kN 50 kN 30 kN 30 30kN 练习 练习 练习 练习 ? ?
