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1、第十一章 连续小波变换 短时傅里叶变换必须在时域分辨率和频域分辨之间做折衷 频相平面上按固定窗口大小堆砌 理想状态 既能用短持续时间的窗函数对信号中的快速变化分析 又能用长持续时间窗函数对信号中的缓慢变化分析 时频堆砌 “ 变焦 ” 功能示意图 宽分析窗 窄分析窗 小波变换的发展 地质物理学家 数学家 出构造正交小波基的一般方法 11 1分析窗的尺度伸缩和平移特性 分析窗函数（小波函数）的时域局域化指标 分析窗的尺度伸缩平移 ( ) , * , 22t)(1, 尺度伸缩平移窗函数的局域化指标 * * , 22尺度伸缩平移窗函数的特性 尺度 析窗时域伸展，带宽变小 尺度 析窗时域收缩，带宽变大
2、分析窗的时间 带宽乘积等于常数 , a 常数22 / 2( ) (1 ) tt t e例， 2( ) / 22, ( ) 1 ( )尺度调节对时频相平面的影响 调节尺度可改变分析窗的时、频域分辨率，类似调节显微镜的焦距 尺度大时，可以观察被分析信号的低频频部分（信号全貌） 尺度小时，可以观察被分析信号的细节或局部 11 2连续小波变换 连续小波变换的定义 2( ) ( )x t L R时域和频域局域化特性的分析窗（小波）函数 信号 小波函数尺度伸缩与平移 ()t, ()a t*,2( , ) ( ) , ( ) ( ) ( )1( ) ( ) 0 , ( )x a T a x t t x t
3、t d t d t a x t 某尺度下 某尺度和某位移下的 连续小波变换的频域分析 *11( , ) ( ) ( ) ( ) * ( )1 ( ) ( ) a x t d t x T x F * * * *( ) ( ) ( ) ( )e j t j a ut a d t a u e d u a *( , ) ( ) ( ) T a a I F T x a 频域观察 若小波函数的频谱具有带通特性，不同尺度 尺度参数 频域局域化指标为 *()a *垐 , 22a a a a尺度大，带宽小，便于精确分析信号中的低频成份 尺度小，带宽大，便于分析信号中的高频成份 典型小波函数不同尺度下的频率特性
4、连续小波变换的逆变换 212( ) , ( ) ( )x t x t L R2 () 12121 , , 220( ) , ( ) ( , ) , ( , )( ) , ( ) ( ) , ( )x t x t W T a W T x t t t x t 连续小波变换的逆变换 12( ) ( ) , ( ) ( )x t x t x t t u 201( ) ( , ) ( )tx t W T a 小波函数的特性 振荡性 20 () ( ) ( ) 0c d t d t 正则性 小波函数的阶原点距 * ( )t t *( ) *0()*01( , ) ( ) ( )1 ( )( ) ( )!1
5、 ( )( ) ( )! a x t d d d t 正则性 小波函数的正则性阶次为 波变换中只包含被分析信号的 当需要提取被分析信号的快速变化信息时，必须选择正则性条件高的小波函数 其它特性 光滑性和连续性 :避免短时加窗截断时的非线性影响 紧支集性 :时域或频域紧支性可保证小波函数在一个域中具有最好的局域化特性 线性相位性 :防止小波变换过程中产生相位失真 正交性 :变换之后的冗余度最小，实现最大限度的数据压缩 具有解析表达式 :方便连续小波变换的计算 常见小波函数 20 0( ) 5t e e 24 0 ( ) ( ) 1 0 1 / 2() 1 1 / 2 1tt t 24 ( ) s
6、 i n ( )4 墨西哥草帽（ 或 21 / 4 2 / 22( ) ( 1 )3tt t e 21 / 4 2 / 22 ()3 e 1 / 2/222/21 / 2/2220 8 / 3 0 2 / 32321 e / 3 8 / 33 ( 8 / 3 ) ( 4 / 3 ) ()4 / 341 e / 3 4 / 33 ( 4 / 3 ) ( 2 / 3 ) 1 ( ) ( )2 e d 无解析表达式的小波 双正交小波系列 样条小波系列 11 3连续小波变换的性质 线性性 12( ) ( ) ( )y t x t x t 12( , ) ( , ) ( , )y x a W T a W
7、 T a 时移不变性 0()x t t0( ) 0( , ) ( , )x t t a W T a t 尺度伸缩性 0()x a t 0( ) 0 0( , ) ( , )x a t a W T a a a 内积定理（ 121 ( ) , 2 ( ) ( , ) , ( , )x t x t W T a W T a 交叉项特性 12( ) ( ) ( )y t x t x t 1 2 1 2222 12( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) c o s ( )y x x x a W T a W T a W T a W T a 冗余度和再生核 0 0 0 020( , ) (
8、 , ) ( , ; , ) a W T a K a a 000 0 , ,1( , ; , ) ( ) , ( )a a t 离散化的依据，降噪 选择正交基小波函数可去除 000 0 , , 0 01( , ; , ) ( ) , ( ) ( ) ( )a a t t a 11 4连续小波变换的计算机实现 ( ) , 0 ,1 , .,sx kT k ( 1 )*0( 1 ) *011( , ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) k T a x t dt x k T k T dt ( 1 ) ( 1 )*( ) ( ) ( ) ( ) k d t t d ( 1 ) ( 1 )*( ) ( ) ( 1 ) ( ( 1 ) ) ( 1 ) a k Ta s st d t t n T d t I k n
