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1、线性代数课后习题复习指导线性代数课后习题复习指导 1 11、利用对角线法则计算行列式，可以通过几道小题熟悉一下把行列式化成上（下）三角的过程，基本题。2、3 题涉及排列以及行列式的展开准则，不是太重要，了解即可。4、5、6 题是一些计算行列式的练习，不同特点的行列式通常有不同的方法，常见的就是化为上（下）三角，按行（列）展开，某一行（列）是和的形式可进行拆分，基本题，要通过这些练习来熟练行列式的运算这一块。5 题虽然是以方程形式给出，但考察点还是计算。7、行列式性质的应用，比较重要的题型，重在对思维的训练，而且该题的结论很常用，最好掌握。8、一些难度较高的行列式的计算题，涉及到不少技巧，而这些
2、技巧通常初学者是想不到的，这时候可以看看答案，体会一下答案的做法，对这块内容的要求和不定积分是类似的。9、设计巧妙的题目，隐含考点是行列式按行展开的性质：若是相同行（列）的元素和代数余子式对应相乘求和，结果是行列式的值；若是不同行（列）的元素和代数余子式对应相乘求和，结果为 0。注意此题要求的结果是第三行的代数余子式的某种组合，而根据代数余子式的定义可知，这与题给的行列式中的第三行的元素是无关的，那就可以根据需要把第三行的元素替换为前面要求的式子中的那些系数，这样问题就简化为求一个新的行列式，而无需烦琐的进行四次求代数余子式的运算。此题技巧性较强，但这个构思方法值得掌握。10、克兰姆法则的应用
3、，归根结底还是计算行列式。11、12 题是通过行列式来判断齐次方程组的解的情况，基本题，在已经复习完一遍线代后也可以用其它方法（化阶梯行、求秩）来做。总的来说，第一章的习题大都非常基本，集中于计算层面的考察，没有理解上的难度。同济五版线性代数习题解读（二）1 、矩阵乘法的基本练习，简单题，但计算很容易出错，不可轻视，（5）小题实际上就是第五章要接触的二次型。2、直接考察矩阵相关运算，基本题。3、矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换，题目给出了从 y 到 x 的变换，还给出了从 z 到 y 的变换，要求 z 到 x 的变换。既然一个矩阵可以表示一个线性变换，两个矩阵的乘积即可理解为两个变换的叠加，
4、这也是提供了一个侧面去理解矩阵相乘的意义。4、5 题实际上都是通过一些具体的例子来加深对矩阵运算的理解，比如矩阵乘法不能交换、不能像数乘那样约去因子，等等，这些例子是比较重要的，因为有时能在考场上派上用场，需要熟悉。6、7 题是求矩阵乘方的题目，基本题，但要注意些适当的技巧，比如拆成两个特殊矩阵的和，能简化运算。8、9 是关于对称阵概念的考查，不难但重要，因为这类题即是线代里证明题的代表：几乎都要从定义出发证明。所以从这两道题得到的启发是要把线代上的每个知识点都抠得足够细，了然于心。10、11、12 都是矩阵求逆的计算题，只不过表达方式不同，10 题是直接提出要求，11 题是以矩阵方程的形式来
5、暗示求逆，12 题则从线性方程组的角度来暗示求逆。求逆是错误率很高的一类题目，所以需要重点练习。13、和 3 题类似，矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换，题目给出了从 y 到 x 的变换可以用一个矩阵表示，反过来求 x 到 y 的变换，求逆阵即可。此题的另外一个暗示：要能够熟练的掌握从方程组到矩阵的写法，即矩阵方程 x=Ay 代表一个线性方程组，或者说一个线性变换，对这两种写法都要能够看到一个马上反应到另一个。14、考察矩阵和其逆阵、伴随阵的关系，同时把行列式加进来，综合性较强的重要题型。15、16 解简单的矩阵方程，注意先对已知等式做一些适当的变形，基本题。14、15 证明矩阵可逆，从定义出
6、发即可，注意从题目中体会思路。16、考察矩阵和其逆阵、伴随阵的关系，同时把行列式加进来，综合性较强的重要题型。17、18 稍微复杂一些的矩阵方程，因为其中涉及到伴随阵，但也不难，利用好伴随阵和逆阵的关系即可简化，此二题的难度接近考研中的填空题。19、20 是矩阵的乘方（多项式实质也是乘方）运算，在复习完一遍线代后再看发现这其实就是特征值特征向量（对角化）的一个应用，实际上特征值问题本来就可以理解为是为了寻找矩阵乘方运算的捷径而发展起来的，只不过后来发现特征值还有许多其它很好的用处。21、22 证明矩阵可逆，从可逆的定义出发即可，即若能找到某一矩阵与已知矩阵的乘积为单位阵，那么已知矩阵肯定可逆，
7、注意从这两道题目中体会这种常用的思路。23、24 题本身的证明是从定义出发，更重要的是这两道题可以作为结论记的，线代的考研题目常涉及这两个命题。在线代的学习中，把握好一些不是课本上正面给出（如出现于习题中）的命题是很有好处的。25、26、27、28 都是对分块矩阵运算的考查，作为适当的练习，是必要的。在分块矩阵这部分知识点特别要注意的是：要能够根据问题的需要采取适当的分块方式，典型的如行分块和列分块，一个线性方程组可以用矩阵 Ax=b 来表示，一个矩阵方程 AX=B 则可看作是若干个线性方程组 A(x1 x2 . xn)=(b1 b2 . bn)同时成立的结果，当然这只是一个典型的里子，其它还
8、有很多类似的点也要熟练到能够在头脑中随时切换，以适应不同的解题或理解需要。和第一章类似，第二章的学习也主要集中在计算层面上，我们可以这样来理解，前两章的内容主要是教会我们一些线性代数中基本的运算规则，就如我们以前学数的加减乘除一样，这些规则当然是认为规定的，但是又是在解决某些实际问题的过程中会大量用到的，所以有必要先统一进行了解和学习，比如求行列式可以帮助我们解方程，求矩阵的乘积可以帮助我们进行坐标变换，等等。 同济五版线性代数习题解读（三）1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，基本运算的练习，实际上也可以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习，需纯熟掌握。2、3 表面上是要求一个能使
9、已知矩阵化为行最简形的可逆阵，实际上是考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程，对应的是一系列初等矩阵的乘积，把这一过程搞清楚了，要求的矩阵也就相应清楚了。要知道一个初等矩阵对应一个初等变换，其逆阵也是，从这个意义上去理解可以有效解决很多问题。4、求矩阵的逆阵的第二种方法（第一种是伴随阵） ，基本题，同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚（书上相应章节有解释） ，即为什么可以通过这两种方法求逆阵。5、6 是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了，选择自己习惯的做法即可。7、考察矩阵秩的概念，所以矩阵的秩一定要搞清楚：是不为零的子式的最高阶数。所以秩为 r
10、 的话只需要有一个不为零的 r 阶子式，但所有的 r+1 阶子式都为零；至于 r-1 阶子式，也是有可能为零的，但不可能所有的都为零，否则秩就是 r-1 而不是 r 了。8、还是涉及矩阵的秩，矩阵减少一行，秩最多减 1，也可能不减，不难理解，但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚。9、主要考查矩阵的秩和行（列）向量组的秩的关系，实际上它们是一致的，因为已经知道的两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一个简单问题：在找两个行向量，与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关，最后由于要求方阵，所以还要找一个向量，与前面四个向量组和在一起则线性相关，最容易想到的就是 0 向量了。10、矩阵的秩是一个重要
11、而深刻的概念，它能够反映一个矩阵的最主要信息，所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题。矩阵的初等行（列）变换都不会改变其秩，所以可以混用行、列变化把矩阵化为最简形来求出秩。11 题是一个重要命题，经常可以直接拿来用，至于它本身的证明，可以从等价的定义出发：等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到，而初等变换是不改变矩阵的秩的，所以等价则秩必相等。实际上 11 题因为太过常用，以至于我们常常认为秩相等才是等价的定义，不过既然是充分必要条件，这样理解也并无不可。12、选取合适的参数值来确定矩阵的秩，方法不止一种，题目不难但比较典型。13、14 题是求解齐次、非齐次方程组的典型练习，务必熟练掌握
12、。15、线性方程组的逆问题，即已知解要求写出方程，把矩阵的系数看做未知数来反推即可，因为基础解系中自由未知量的个数和有效方程正好是对应的，个人感觉这类题不太重要。16、17、18 题是线性方程组的一类典型题，考研常见题型，讨论不同参数取值时解的情况，要熟练掌握这类题目。19、证明本身不是很重要，重要的是由题目得到的启示：由一个向量及其转置（或一个列向量一个行向量）生成的矩阵其秩一定是1。这实际上也不难理解，矩阵的秩是 1 意味着每行（或每列）都对应成比例，即可以写成某一列向量乘行向量的形式，列向量的元素就是每行的比例系数，反过来也一样，这个大家可自行写一些具体的例子验证，加深印象。另外值得注意
13、的是：列向量乘行向量生成的是矩阵，而行向量乘列向量生成的是数。20、考察的是矩阵的运算对矩阵秩的影响，抓住 R(AB)=R(A+B)。至于证明本身，只是这两个命题在某种特殊情况下的综合应用，解答过程给我们的提示相对来说是更重要的。25、与伴随阵的秩有关的著名命题，常用结论，一定要掌握。证明过程很多参考资料都给出了。26、非齐次线性方程组的练习，基本题型。27、考察线性方程组的解的结构，较好的融合了该部分的相关知识点，通过此题的练习可以加深解的结构相关概念的理解。28、讨论参数取值对方程组的解的影响，基本题，以向量组的语言给出而已。29、把线性方程组和空间解析几何的知识点相结合的一道题目，可以作
14、为一个提高练习，不强求掌握。30、以抽象的向量形式给出线性方程组的问题，考研典型题之一，解决此题需要综合应用线性方程组和向量组的若干知识点，重点掌握和理解的对象。31、32、33 都是涉及解的结构的证明题，其中对基础解系的理解要清晰：基础解系是线性无关的，同时所有的解都可由基础解系表示，由此可见基础解系本身就给出了许多强有力的信息，这个在题目中一定要多加利用。同时还有一些解的结构的命题，如非次方程解的差即齐次方程解，等等，也可以通过这几道练习中来加强理解和掌握。34 及以后的向量空间的题目都不作要求，最多是 40 题的过渡矩阵了解一下即可，具体解法可参加书上例题，这里不再详述。通过三、四章的学
15、习和练习，我们体会到，要学好线代，需要建立起良好的思维习惯，即面对线性代数的知识点，常常需要从不同的角度（方程组角度、向量组角度和矩阵角度）去理解同一个数学事实或数学命题，并且它们通常还是可以互推的，所以在线代里， “见一反三”非常重要，一旦抓住了整个知识网络，线代就会成为考研数学里最简单的一环。同济五版线性代数习题解读（五）1、涉及与正交相关的条件的基本计算题，可作为运算方面的练习。2、施密特正交化的计算，很重要的基本题，要注意的是施密特正交化的计算公式难于记忆，最好是把正交化的整个过程搞清楚，也就是说：给你一组向量，你要把它们化成正交的，怎么做？可以先考虑简单情形，两个向量怎么正交化？很简
16、单，只要一个向量减去它在另外一个上的投影就可以了。那三个向量怎么正交化？先把其中两个正交化，然后第三个减去它在另外两个的平面上的投影就好了。依次类推，就不难理解施密特正交化中每个公式的意义了。3、判断矩阵是不是正交阵，按定义即可，基本题。4、5 是简单的涉及正交矩阵概念的证明题，从定义出发，都不难得到结论。6、求特征值和特征向量的基本题型，需要练习纯熟。7、证明特征值相同，按特征值定义即可，此命题可作为结论用。8、较难的一道题，把线代里几个重要的知识点都综合在一起考察，关键在于问题的转化：有公共的特征向量问题即两个方程组有公共解的问题，然后用与方程组的基础解系有关的知识点解决，要重点体会解题思路。9、10、11 都是与特征值有关的一些命题，从定义出发不难证明，线代里的概念大多都要从定义上去抓住它们，把它们理解好。其中10 题是一个常用的结论。12、13 是特征值性质的应用，即特征值与矩阵特有的对应关系，比如矩阵作多项式运算，则其特征值也就该多项式规律变化，基本题，也是常见题型。14、考察相似的概念，仍然是要把握好定义，何为相似？15、16 题涉及到相似对角化，这
