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1、第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平平 面面1A 2.D 3.C 4.D 506Am7. 解 很明显，点 S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点，即点 S 在交线上，由于 ABCD，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，如图所示EAC，AC平面 SAC，E平面 SAC.同理，可证 E平面 SBD.点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上，连接 SE，直线 SE 是平面SBD 和平面 SAC 的交线8证明 l1，l2，l1Dl2，l1、l2交于一点，记交点
2、为 P.Pl1，Pl2，Pl3，l1，l2，l3交于一点9C 10.C 11 12证明 因为 ABCD，所以 AB，CD 确定平面 AC，ADH，因为 H平面AC，H，由公理 3 可知，H 必在平面 AC 与平面 的交线上同理 F、G、E 都在平面 AC 与平面 的交线上，因此 E，F，G，H 必在同一直线上13证明 (1)C1、O、M平面 BDC1，又 C1、O、M平面 A1ACC1，由公理 3 知，点 C1、O、M 在平面 BDC1与平面 A1ACC1的交线上，C1、O、M 三点共线(2)E，F 分别是 AB，A1A 的中点，EFA1B.A1BCD1，EFCD1.E、C、D1、F 四点共面
3、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系1D 2C 3B 4D 5.平行或异面6(1)60 (2)457(1)证明 由已知 FGGA，FHHD，可得 GH 綊 AD.又 BC 綊 AD，1212GH 綊 BC，四边形 BCHG 为平行四边形(2)解 由 BE 綊 AF，G 为 FA 中点知，BE 綊 FG，12四边形 BEFG 为平行四边形，EFBG.由(1)知 BG 綊 CH，EFCH，EF 与 CH 共面又 DFH，C、D、F、E 四点共面8解 (1)如图，CGBF，EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CG 所成的角，又BEF 中，EBF45，所以 BE
4、 与 CG 所成的角为 45.(2)连接 FH，BD，FO，HD 綊 EA，EA 綊 FB，HD 綊 FB，四边形 HFBD 为平行四边形，HFBD，HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成的角连接 HA、AF，易得 FHHAAF，AFH 为等边三角形，又依题意知 O 为 AH 中点，HFO30，即 FO 与 BD 所成的角是 30.9D 10B 1112(1)证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A、B、C、D 在同一平面内，这与 A 是BCD 平面外的一点相矛盾故直线EF 与 BD 是异面直
5、线(2)解 取 CD 的中点 G，连接 EG、FG，则 EGBD，所以相交直线 EF 与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角在 RtEGF 中，由 EGFG AC，求得FEG45，即异面直线 EF 与 BD 所成12的角为 45.13解 如图，取 AC 的中点 P. 连接 PM、PN，则 PMAB，且 PM AB，PNCD，且 PN CD，1212所以MPN 为直线 AB 与 CD 所成的角(或所成角的补角)则MPN60或MPN120，若MPN60，因为 PMAB，所以PMN 是 AB 与 MN 所成的角(或所成角的补角)又因 ABCD，所以 PMPN，则PMN 是等边三角
6、形，所以PMN60，即 AB 与 MN 所成的角为 60.若MPN120，则易知PMN 是等腰三角形所以PMN30，即 AB 与 MN 所成的角为 30.故直线 AB 和 MN 所成的角为 60或 30. 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系1D 2C 3D 4C 5.平行、相交或异面6b，b 或 b 与 相交7解 不正确如图，设 l，则在 内与 l 平行的直线可以有无数条，如a1，a2，an，它们是一组平行线，这时 a1，a2，an与平面 平行，但此时 与 不平行，l.8证明 直线 a平面 ，直线
7、 a 与平面 无公共点b，b，b.直线 a 与 b 无公共点a，ab.9D 10.D 11.平行或相交12解 由 a 知 a 且 a，由 b 知 b 且 b，a，b，a、b 无公共点又a 且 b，ab.， 与 无公共点，又 a，a 与 无公共点，a.13解 由点 Q 在线段 DD1上移动，当点 Q 与点 D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点 Q 与点 D 重合时，截面图形为矩形 AB1C1D，如图(2)所示；图(1) 图(2)当点 Q 不与点 D，D1重合时，截面图形为等腰梯形 AQRB1，如图(3)所示图(3) 2.2 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的
8、判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定1D 2.B 3.D 4.D 5(1)平面 A1C1和平面 DC1 (2)平面 BC1和平面 DC1 (3)平面 B1C 和平面 A1C1617证明 如图，连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF.因为 F 为正方形 ABCD 对角线的交点，所以 F 为 AC、BD 的中点在三角形 DD1B 中，E、F 分别为 DD1、DB 的中点，所以 EFD1B.又 EF平面 AEC，BD1平面 AEC，所以 BD1平面 AEC.8证明 连接 OF，O 为正方形 DBCE 对角线的交点，BOOE，又 AFFE，ABOF，Error!Error
9、!AB平面 DCF.9A 10D 111212证明 取 AD 的中点 G，连接 GF，GE，由条件易知 FGCD，FG CD，BECD，BE CD，1212所以 FGBE，FGBE，故四边形 BEGF 为平行四边形，所以 BFEG.因为 EG平面 ADE，BF平面 ADE，所以 BF平面 ADE.13证明 如图所示，连接 AQ 并延长交 BC 于 K，连接 EK. KBAD，.DQBQAQQKAPDQ，AEBD，BQPE.PQEK.DQBQAPPEAQQKAPPE又 PQ平面 BCE，EK平面 BCE，PQ平面 BCE.2.2.2 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定 1B 2D 3B 4
10、.D 5相交或平行67证明 由于 ABCD，BECF，故平面 ABE平面 DCF.而直线 AE 在平面 ABE 内，根据线面平行的定义，知 AE平面 DCF.8证明 E、E1分别是 AB、A1B1的中点，A1E1BE 且 A1E1BE.四边形 A1EBE1为平行四边形A1EBE1.A1E平面 BCF1E1，BE1平面 BCF1E1.A1E平面 BCF1E1.同理 A1D1平面 BCF1E1，A1EA1D1A1，平面 A1EFD1平面 BCF1E1.9D 10.A 11.M线段 FH12证明 (1)E、F 分别是 B1C1、C1D1的中点，EF 綊 B1D1，12DD1綊 BB1，四边形 D1B
11、1BD 是平行四边形，D1B1BD.EFBD，即 EF、BD 确定一个平面，故 E、F、D、B 四点共面(2)M、N 分别是 A1B1、A1D1的中点，MND1B1EF.又 MN平面 EFDB，EF平面 EFDB.MN平面 EFDB.连接 NE，则 NE 綊 A1B1綊 AB.四边形 NEBA 是平行四边形ANBE.又 AN平面 EFDB，BE平面 EFDB.AN平面 EFDB.AN、MN 都在平面 AMN 内，且 ANMNN，平面 AMN平面 EFDB.13(1)证明 连接 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 分别于 P、F、H.M、N、G 分别为ABC、ABD、BCD 的重心，则
12、有2.BMMPBNNFBGGH连接 PF、FH、PH，有 MNPF.又 PF平面 ACD，MN平面 ACD，MN平面 ACD.同理 MG平面 ACD，MGMNM，平面 MNG平面 ACD.(2)解 由(1)可知 ，MGPHBGBH23MG PH.23又 PH AD，MG AD.1213同理 NG AC，MN CD.1313MNGDCA，其相似比为 13，SMNGSADC19.2.2.3 直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质1C 2C 3A 4B 5(或) 6.a2 237证明 如图所示，连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO，ABCD 是平行四边形，ABCD 是平行四边形，点 P 是平面
13、 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH，求证：APGH.O 是 AC 中点，又 M 是 PC 的中点，APOM.根据直线和平面平行的判定定理，则有 PA平面 BMD.平面 PAHG平面 BMDGH，根据直线和平面平行的性质定理，则有 APGH.8证明 四边形 EFGH 为平行四边形，EFGH.又 GH平面 BCD，EF平面 BCD.EF平面 BCD.而平面 ACD平面 BCDCD，EF平面 ACD，EFCD.而 EF平面 EFGH，CD平面 EFGH，CD平面 EFGH.9A 10.平行四边形11mn12(1)证明 因为
14、 BCAD，AD平面 PAD，BC平面 PAD，所以 BC平面 PAD.又平面 PAD平面 PBCl，BC平面 PBC，所以 BCl.(2)解 MN平面 PAD.证明如下：如图所示，取 PD 中点 E. 连接 EN、AE.又N 为 PC 中点，EN 綊 AB12EN 綊 AM，四边形 ENMA 为平行四边形，AEMN.又AE平面 PAD，MN平面 PAD，MN平面 PAD.13证明 连接 A1C 交 AC1于点 E，四边形 A1ACC1是平行四边形，E 是 A1C 的中点，连接 ED，A1B平面 AC1D，平面 A1BC平面 AC1DED，A1BED，E 是 A1C 的中点，D 是 BC 的中点又D1是 B1C1的中点，BD1C1D，又C1D平面 AC1D，BD1平面 AC1D，BD1平面 AC1D，又 A1BBD1B，平面 A1BD1平面 AC1D.2.2.4 平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质1A 2D 3B 4C 5(1)相似 (2)全等6157证明 平面 AB1M平面 BC1N，平面 ACC1A1平面 AB1MAM，平面 BC1N平面 ACC1A1C1N，C1NAM，又 ACA1C1，四边形 AN
