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1、1第十九讲第十九讲 不等式的应用问题不等式的应用问题 一、引言一、引言 本讲主要学习绝对值不等式及高次、分式不等式的解法，应用不等式求最值，不等式 证明的主要方法，能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值；了解数学 归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题 本讲考纲要求：熟练运用不等式的知识综合解决函数、方程中的有关问题；通过不等 式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等各部分知识中 的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力 本讲命题方向为： 1结合指数、对数、三角函数考查函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题
2、 形式出现； 2以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考查 考生阅读以及分析、解决问题的能力； 3在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函 数、导数综合命题这一变化趋势 二、考点梳理二、考点梳理1绝对值的几何意义：|x是指数轴上点x到原点的距离；12|xx是指数轴上12,x x两点间的距离 2含绝对值的不等式的性质：| | |ababab，当0ab b时，左边等号成立；当0 ab 时，右边等号成立| | | |ababab，当0ab b时，左边等号成立；当0ab 时，右边等号成立进而可得：| |ababab3绝对值不等式的解法： （
3、1）解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次 （二次）不等式（组）进行求解； （2）去掉绝对值的主要方法有： 公式法：| (0)xa aaxa ，| (0)xa axa或xa 定义法：0 0xx x xx ，零点分段法；平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方 axbc0c 22axbc4分式不等式的解法：0)()(0)()(xgxfxgxf， . 0)(, 0)()(0)()( xgxgxfxgxf( )0( )( )0( )f xf xg xg x， ( ) ( )0,( )0( )0.( )f x g xf x g xg x 5常用的证明不等式的方法 （1）
4、比较法（2）综合法 （3）分析法 （4）反证法（5）放缩法 （6）换元法（7）构造法 6柯西不等式（1）代数形式：设dcba,均为实数，则22222)()(bdacdcba，其中 当且仅当bcad 时等号成立2（2）推广形式：设dcba,均为实数，则：2222abcdacbd，其中当且仅当bcad 时等号成立 （3）几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为 A（ba,） ，B（dc,） ，那么它们的数量积为bdac ，而22|ba ，22|dc ，所以柯西不等式的几何意义就是：bdac ，其中当且仅当两个向量方向相同 或相反（即两个向量共线）时等号成立 （4）向量形
5、式：设，为平面上的两个向量，则|，其中当且仅 当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时等号成立 7数学归纳法 数学归纳法适用于有关自然数 n 的命题具体来讲，数学归纳法常用来证明恒等式， 不等式，数的整除性，几何中计数问题，数列的通项与和等 (1)数学归纳法的基本形式：设( )P n是关于自然数n的命题，若 0()P n成立(奠基); 假设()kP n成立(k0n)，可以推出1()kP n成立(归纳)，则 ( )P n对一切大于等于0n的自然数n都成立(2)数学归纳法的应用 具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通 项与和等 三、典型例题选讲三、典型例题
6、选讲 题型题型 1 1：高次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法及其应用：高次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法及其应用例例 1 1 解不等式：(1) 23(4)(5) (2)0xxx； （2）322150xxx； （1 1）解法一）解法一：原不等式等价于 23(4)(5) (2)0550(4)(2)042xxxxxxxxx 或原不等式解集为5542x xxx 或或解法二解法二：把方程 23(4)(5) (2)0xxx的三个根-5,-4,2 顺次标在数轴上,然后 从右上开始画线顺次经过三个根(奇穿偶不穿)，其解集如下图的阴影部分（2）解：解：原不等式可化为0)3)(52(xxx把方程0)
7、3)(52(xxx的三个根3,25, 0321xxx顺次标在数轴上然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分原不等式解集为 3025xxx或归纳小结：归纳小结：用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中x的系数必为正；对于 偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿”3 例例 2 2 解下列分式不等式：（1）32122xx ；（2）22411372xx xx解：解：（1）原不等式等价于3302222xx xxxx23(2)(2)5600(2)(2)(2)(2)xx xxx xxxx(6)(1)(2)(2)0(6)(1)0(2)(2)0(2)(
8、2)xxxxxx xxxx 用“穿根法”其解集如下图的阴影部分：原不等式解集为, 62 , 1)2,( （2）原不等式等价于(21)(1)0(31)(2)xx xx(21)(1)(31) (2)0xxxx用“穿根法” 原不等式解集为11(, )( ,1)(2,)32归纳小结：归纳小结：当分式不等式化为( )0(0)( )f x g x或时，要注意它的等价变形( )0( )( )0( )f xf xg xg x( )( )0( )0( )0( )f xg xf x g xg x( )0( )0( )( )0( )f xf xf xg xg x或或要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后
9、从左向右逐段讨论，这样做 条理分明、不重不漏例例 3 3 解不等式242xx分析：分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 )0()0(aaaaa；二是根据绝对值的性质：,xaaxa xaxa 或ax，因此本题有如下两种解法解法一：解法一：原不等式240424042222xxxxxx或即22222321xxxxxx 或或或32 x或21 x4故原不等式的解集为31 xx解法二：解法二：原不等式等价于24)2(2xxx即)2(42422xxxx2312xxx 或故原不等式的解集为31 xx归纳小结：归纳小结：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的
10、不等式，然后把不 等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解例例 4 4 求使不等式axx34有解的a的取值范围解法一：解法一：设( )43f xxx，则有(4)(3)3( )(4)(3)34(4)(3)4xxxf xxxxxxx 作出函数 f(x)的图象,得：要使不等式43xxa成立，只需 a1，故 a 的取值范围为 a1 解法二：解法二：设数x，3，4 在数轴上对应的点分别为 P，A，B，如下图，由绝对值的几何定义，原不等式 |PA|+|PB|a 的意义是 P 到 A、B 的距离之和小于 a因为|AB|=1，故数轴上任一点到 A、B 距离之和大于（等于）1 即431xx ，故当1a 时,4
11、3xxa故 a 的取值范围为 a1归纳小结：归纳小结：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解法一用 “零点分段法” 去掉绝 对值符号，转化为一个分段函数，再用函数的图象求解解法二用绝对值的几何定义出发, 寻找不等式的几何意义求解两种方法各有特点,都是解决此类问题的常用方法 例例 5 5 解不等式(1)2233(1)12( )2xxx ； (2)462 90xxx 解：解：(1)原不等式可化为：2233(1)22xxx,2233(1)xxx 5整理，得260xx 解之，得不等式的解集为x|-3x2(2)原不等式两边同除以 9x得42( )( )2093xx,设2( )3xt,则220tt ,解得1
12、2tt 或,即2( )13x 或2( )23x原不等式的解集为x|2 3log 2x 归纳小结：归纳小结：解指数不等式的关键是转化为代数不等式在解的过程中要特别注意未知 数的取值范围及指数函数的单调性第（2）小题中先用到了“换元法”转化为二次不等式 后再用指数函数的单调性求出解集 例例 6 6 解不等式(1)2 11 33log (34)log (210)xxx ； (2)(3)log(1)2xx解：解：（1）原不等式等价于22340210034210xxxxxx 14 5 27xx x x 或原不等式的解集为x|-2x-1 或 4x7 （2）原不等式等价于210 31 1(3)x x xx
13、或210 031 1(3)x x xx 解之得：4x5 原不等式的解集为x|4x5 归纳小结：归纳小结： 在解对数不等式时，除要注意根据底数结合对数函数单调性进行等价转化 外，还要注意使对数有意义的未知数的取值范围、对数的运算法则和换底公式的应用 题型题型 2 2：证明不等式：证明不等式例例 7 7 求证21 31 211222nL分析：分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一 项注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从21 n下手考查即可证明：证明：211 1111(2)(1)1nnn nn nnn，LL 31 21 21 1111 31 211222n2121 11 nnn归纳小结：归纳小结：此题证明过程并不复杂，但思路难寻本题所采用的方法也是解不等式时 常用的一种方法，即放缩法这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这 里变形的这一步极为关键不能放缩不够或放缩过头，财时放缩后便于求和例例 8 8 用数学归纳法证明111111111234212122nnnnnLL， Nn6分析：分析：要证等式的左边共2n项，右边共n项， f k与1f k 相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“nk”到“1nk”时要注意项 的合并证明：证明：（1）当1n 时，左边=11122，
