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1、【本讲教育信息本讲教育信息】一一. 教学内容：教学内容：必修 5 正弦定理、余弦定理二、教学目标二、教学目标 （1）熟练的掌握正弦定理、余弦定理及其简单的应用。 （2）在正、余弦定理应用过程中，体会利用函数与方程的数学思想处理已知量与未知 量的关系。 利用等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想应用正弦定理、余弦定理解题。三、知识要点分析三、知识要点分析1、正弦定理的有关知识（设ABC 的,ABC所对的边是 a，b，c，外接圆半径是 R）正弦定理：2sinsinsinabcRABC ，由正弦定理得（i）2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC（ii）:sin:sin:si
2、na b cABC。 正弦定理应用：（1）已知一边和两角求其余的边和角。 （2）已知两边和其中一边对角求其余边角。其解的情况不唯一。A 为锐角A 为直角或钝角 关系式a=bsinAbsinAb解的个数一解两解一解一解2、三角形的面积公式 （1）1,(2aaSa hha是边上高） （ha是 a 边上的高） （2）111Ssinsinsin222abCbcAacB= 。 （3） 1(),(2Sabcr r是内切圆半径）3、余弦定理的有关知识。 （设A, B, CABCV的三个角所对的边是a, b, c）余弦定理：222 22222cos)2(1cos)cos2bcabcbcAbcbcAAbca（2
3、22 22222cos()2(1cos)cos2acbbacacBacacBBac222 22222cos()2(1cos)cos2abccababCababCCab余弦定理应用：（1）已知三边求角， （2）已知两边及其夹角求其余的边和角。【典型例题典型例题】考点一：利用正弦定理、余弦定理求三角形的边和角 例 1、在03,2,45cABCabBV中，已知，求A, C 和B=45，求 A，C 和 c。 【思路分析思路分析】本题是已知三角形的两边及一边的对角解三角形问题，可用正弦定理求 解，但要先判定ABC 是否有解？有几解？也可用余弦定理求解。 解法（一）：解法（一）：B=45 且 ba，ABC
4、 有两解解法（二）：解法（二）：由余弦定理得：222222cos23232bacacBcc2610cc 故6262 22cc或A=60A=120【说明说明】本例的特点是已知两边和其中的一边对角解三角形的问题，三角形不固定需本例的特点是已知两边和其中的一边对角解三角形的问题，三角形不固定需 要讨论解的个数，充分体现了分类讨论的数学思想。要讨论解的个数，充分体现了分类讨论的数学思想。考点二：利用正弦定理、余弦定理求角或边等变量的取值范围问题考点二：利用正弦定理、余弦定理求角或边等变量的取值范围问题 例 2、在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c（1）若 cosA=1 3，3a ，
5、求 bc 的最大值。 （2）若三边 a，b，c 成等比数列，求证 B 60.【思路分析思路分析】 （1）由 cosA=1 3，3a 及余弦定理得到 b，c 的关系。利用不等式可 证。（2）由 a，b，c 成等比数列及余弦定理可得 cosB1 2 即得证。解：解：（1）222 22212cos233bcaAbcabcbc ，222()02bcbcbcQ239 44bca ，故当 b=c 时，bc 的最大值是9 4。（2）由 a，b，c 成等比数列得：2bac，而222,()02acacac， （a=c 时等号成立）又60B,B0故。例 3、已知三角形 ABC 的外接圆的直径是 1，A,B,C 依
6、次成等差数列，且角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，求22ac的取值范围。 【思路分析思路分析】由三内角成等差数列得B=60，故可设A=6060C,，然后把22ac表示成关于的三角函数，转化为求三角函数的值域问题。解：解：由角 A，B，C 成等差数列得：2B=A+C，即B=60，故设 60C,60A由正弦定理得：a=2RsinA=sinA，c=2RsinC=sinC22221cos21cos2sinsin22ACacAC11(cos2cos2 )2AC 12cos21120212060602cos211)2120cos()2120cos(2112233 42ac考点三：三角形面积公式的
7、应用考点三：三角形面积公式的应用 例 4、在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，三角形的面积是 S，求证：()()()Sp papbpc， （海伦公式）【思路分析思路分析】利用余弦定理求出 cosA，再求 sinA，利用三角形的面积公式S=Asinbc21，然后化简即可。解：解：222 cos,2bcaAbcQ222222222 22sin1cos1()(1)(1)222bcabcabcaAAbcbcbc22222222222() 2()()() 2222bcbcabcbcaabcbca bcbcbcbc1()()()()2abc acb bca abcbc ，把1()2p
8、abc 代入此式得： 12sin(22 )(22 )(22 )2()()()2Apcpbpapp papbpcbcbc故 S=1 2bcsinA=()()()p papbpc例 5、已知三角形的三内角 A，B，C 依次成等差数列，又知最大角和最小角的正切值是方程232xx3(1)x 的两个根，三角形的面积是33，求这个三角形的三个角 和三条边。【思路分析思路分析】根据三内角成等差数列可知：B=60，由此可知A，C 是最小角， 最大角。由 tanA，tanC 是方程的两根可求A，C. 然后根据三角形的面积和正弦定理或余弦 定理可求得三边。解：解：由已知：B=60，tanA，tanC 是方程232
9、xx3(1)x 的两根，且ABC，故 tanA=1，tanC=2375C,45A.由1sin33:4( 31)2abCac得到 -（1）由正弦定理( 31)sinsinacacAC由正弦定理得：得到： -（2）（1） （2）两式联立解得：2( 31),2ac再由正弦定理或余弦定理可求得：3 26b 考点四：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状。考点四：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状。例 6、在三角形 ABC 中，若22tantanbAaB成立，判断三角形 ABC 的形状。【思路分析思路分析】方法（一）由已知可以利用正弦定理或余弦定理把角转换成边。再根据 边的关系判断。方法（二）利用正
10、弦定理或余弦定理把边转换成角，再根据角的关系判断。解：解：方法（一）：由已知得：2222tansincos tancossinbBBAb ABAaa -（*）由正弦定理或余弦定理（*）可化为：222222222222222222bcabbbcabbc acbaacbaaac故2222422224a ba caa bb cb22222()()0abcab即：222ababc或，因此三角形 ABC 是等腰三角形或直角三角形。方法（二）由正弦定理把已知条件化为：2 22 2sincossinsincossinsinsincos0sincossinABAAABBABBABsinsin(sincossi
11、ncos)0sinsin(sin2sin2 )0ABAABBABAB0sin2sin22222B90ABABAABAB或或2A=2B 或 2A=90BABAB2或故三角形 ABC 是等腰三角形或直角三角形。例 7、在ABC 中，sinsinsincoscosBCABC，判断三角形的形状。【思路分析思路分析】利用正、余弦定理把角转换成边或利用正弦倍角、和差化积公式，得到 角的关系，根据角的关系再来判断。解：由正、余弦定理得：222222 222222()()()2()22acbabcabcb acbc abcbc bcacab233222()()()abcbcbc bcabc，即三角形 ABC
12、是直角三角形。另解：另解：由已知得：2sincoscosA2222sincos2sincos22222coscossin222BCBCA AAA BCBCA201sin9022AA A=90，即三角形 ABC 是直角三角形。【本讲涉及的数学思想、方法本讲涉及的数学思想、方法】：本讲主要讲述正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用。 在解题过程中充分体现了等价转换的数学思想（如边角的转换）和分类讨论的数学思想 （三角形的解的个数讨论） ，函数与方程的数学思想（正弦定理余弦定理视为方程处理问题） 等在解题中的应用。预习导学案预习导学案 (三角形中的几何计算及实际应用举例)一、预习前知： 1. 在直角三
13、角形中，两锐角的关系是什么？三边之间有何关系？边和角之间有何关系？ 2. 在等边三角形中：三角的关系是什么？三边有何关系？ 3. 在任意的三角形中： （1）三边有何关系？ （2）若边大，则边所对的角大，反之成立吗？ （3）反映三角形的边角等量关系的两个重要的定理是 和 。二、预习导学 探究反思 探究反思的任务：三角形中的几何计算及实际应用。 1. 已知三角形的两边和其夹角用余弦定理，求第三边，写出余弦定理的三个表达式 【反思】 （1）已知三角形的三边能求出三个角吗？ （2）给出三角形的三边能判断出三角形是钝角三角形，是锐角三角形，是直角三角形 吗？ 2. 已知三角形的两边和其中一边的对角或已知
14、三角形的两个角和任意一边用正弦定理 【反思】在使用正弦定理解三角形时，在哪一种情况下解是不唯一的？ 3. 在利用正弦定理或余弦定理等相关知识解决实际问题时 一：要掌握几种角（1）俯角， （2）仰角， （3）方位角 二：根据已知条件画出图形（已有图形无需画） 三：在图形中要找出相应的边和角，便于正确的使用正弦定理或余弦定理，建立三角函数模型解决问题。 4. 三角形的面积公式有哪些？（写出 5 个） 5. 三角形有六个元素：三条边，三个角，在已知条件中，要求出三角形的三条边和三个 角，这一过程称为解三角形 【反思】请总结一下你可以用哪些定理和公式来求出三角形的三条边和三个角。【模拟试题模拟试题】 （答题时间：60 分钟）一、选择题一、选择题 1、在ABC 中，a=8，B=60，C=75，则 b=（ ）A. 24B. 34C. 64D. 4322、在ABC 中，04 3,2 3,120bcAa, 则A=120,则 a=（ ）,2 21,6,2 216D,2 156 3ABC或，*3、在ABC 中，若2sinsincos,2ABC 则三角形ABC 是 （ ） A、直角三角形B、等边三角形 C、直角或等腰三角形D、等腰三角形*4、设三角形 ABC 三边 a，b，c 的关系是22202230aabcabc，则最大
