复数与复变函数

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1、1复变函数复变函数复变函数殷 德 京湖北师范学院物理系20062006 年年2第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1 复数及其代数运算1.1.复数的概念复数的概念1 1在解方程时，有时会遇到负数开方的问题，但在实数范围内负数是不能开平方的。为此，需要扩大 数系。 我们给出如下的代数形式的复数定义： 复数的代数定义： 把有序实数对作代数组合所确定的形如的数称为（代数形式的）复数，记为),(yxiyx ，iyxz其中， 满足。我们称 为虚单位；实数和分别称为复数的实部和虚部，并记为，i12iixyzzxRe。zyIm特别地，当时，是实数；当时且时，0ImzxzixzRe00Rez0Imz 称

2、为纯虚数；虚部不为零的复数称为虚数（即不为实数的复数称为虚数） ；当且仅当iyziz Im0z且，即复数。0Rez0Imz000i 当且仅当且。21zz 21ReRezz 21ImImzz 2.2.复数的代数运算复数的代数运算2.12.1 四则运算四则运算 设，为任意两个复数，它们的四则运算定义为:111iyxz222iyxz加法：)()(212121yyixxzz减法：)()(212121yyixxzz乘法：)()(1221212121yxyxiyyxxzz除法： （）2 22 22121 2 22 2212121 yxyxxyiyxyyxx zz 02z【注注】：(1).可见，复数的四则运

3、算，可以按照多项式的四则运算进行，只要注意将换成。2i1 (2).关于除法的具体操作可以按两种方法来进行： .先看成分式的形式，然后分子分母同乘以一个与分母的实部相等而虚部只相差一个正负号的 复数（在后面将会看到，这被定义为共轭复数），再进行简化；.用复数除以非零复数，就是要求出这样一个复数，使得111iyxz222iyxziyxz。按乘法的定义，为求出需要解方程组zzz21z 122122 yxyyxxyyxx复数四则运算的性质： 不难证明，复数的四则运算满足交换律、结合律和分配律。2.22.2 共轭复数共轭复数复数和互称为对方的共轭复数，如果记，则用记其共轭复数，即iyx iyx iyxz

4、z1复数的公理化定义见附录 13。iyxiyxz对于复数，称为的模或绝对值。iyxz22yxzz共轭复数和模有下列等式及不等式性质成立（1）zz )(（2），zzzRe2zizzIm2（3）222yxzz z（4）zz （5）2121zzzz（6）2121zzzz（7）)0( 2 2121 zzz zz（8）（此即相干叠加原理式.京.）)Re(2212 22 121212 22 12 21zzzzzzzzzzzz（9）， （由此二式可知，任何实变数的方程原则上都可以用复变数表示）2zzxizzy2（10）zzzzzImReRe（11）zzzzzImReIm（12） （三角不等式）212121z

5、zzzzz（13） （） （复数的二项式定理） nkkknk nnzzCzz02121)(L, 2 , 1n第（第（8）式）式证证明：明：)()()( )(21212 22 121212 22 121212211212121212 21zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz（根据得） )Re(2212 22 1zzzzzzzRe23.3.复数域复数域一般地，对一些数形成的集合，若对中的数按某种法则规定的四则运算在中是封闭的，即SSS 中任意两个数经所规定的加、减、乘、除运算后所得的数仍在中，则称为一数域。SSS 如有有理数域、实数域、复数域。QRC 复数域与有理数域、实数

6、域不同的是，复数没有大小之分，不能像有理数、实数那样可以比较大小， 即复数域不是有序域，而是无序域。尽管复数的实部和虚部均为实数，但是由于复数是实xyiyxz 部和虚部通过虚单位 联系起来，从而是不能比较大小的.i4例：例：利用复数表示圆的方程 0)(22dcybxyxa其中，而是实常数。0adcba,解：令，由上述第（3）及第（9）式得iyxzdizzczzbz zadcybxyxa22)()(22dzcibzcibzaz)(21)(21记，故知圆方程的复数表示可以是)(21cib，0dzzzaz其中是实数。反之，这种形式的方程就表示一个圆。da, 【注】：1.这种形式的特点就是两条:的系数

7、和常数项是实的,而与的系数彼此共轭; z zzz 2.以后还会看到圆的另外两种复变数表示。它们分别适于不同的场合； 3.由第（9）式可知，任何实变数的方程原则上都可以用复变数表示。2 复数的几何表示1.1.复数可以表示为复平面上的点或向量复数可以表示为复平面上的点或向量由于一个复数本质上由一个有序实数对唯一确定，iyxz),(yx而有序实数对与平面上给定的直角坐标系上的点，或与从原点到坐),(yx标为的点的向量（称为点的位置向量，或简称位矢） ，可以建),(yx),(yx 立起一一对应关系。于是，可以用坐标平面的点或向量来表示复数。与复 数建立了这种对应关系的坐标平面称为复平面或z平面，也常用

8、表示复数 域的记号来表示复平面。此时，x轴称为实轴，y轴称为虚轴。C 【注注】：将复数表示为平面向量，这种对应关系使复数的加减法与向 量的加减法之间保持一致。但是，复数的乘法与平面向量的乘法（无论是点 积还是叉积）却是不同的。也即把复数当作向量看待时只能针对加减法意义（或说只能针对问题中只出现加 减法运算时）而言。更准确地说，只能针对加减法及数量乘法（即一实数乘以一向量或复数）而言。不过即使 在这样的情况下也不能说“复数与向量可互为表示”，而只能说“复数与平面向量可互为表示”，因为一般向 量概念还可以是三维及三维以上的。可见线性代数中的线性空间概念比复数概念更弱。2.2.复数可以表示为复球面上

9、的点复数可以表示为复球面上的点除了用平面内的点或向量来表示复数外，复数还有一种几何表示法，它是借用地图制图学中将地球 投影到平面上的测地投影法，建立复平面与球面上的点的对应，也即还可以用球面上的点来表示复数。 取一个与复平面切于原点的球面，通过原点作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点, 称CCN 为北极，而点为南极。在复平面上任取一点，它与球的北极的连线相交于球面点NOxOy),(yxzN。 如此，复平面上的有限远点与球面上除点外的点满足一一对应关系。这样，除点外的),(PCNN球面上的每一个点，就有复平面上唯一的一个复数与之对应。此外，球面北极可以看成是与在复平CN 面上引进的一个模为无穷

10、大的假想的点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。复平面加上CC 点后称为扩充复平面，记为，即，与它对应的就是整个球面，这样的整个球面C UCCS称为复球面。简单地说，扩充复平面的另一个几何模型就是复球面。如图所示。S 为区别起见，我们把不含无穷远点的复平面又称为开平面，把扩充复平面又称为闭平面。以后，CC 凡涉及到闭平面时，一定强调指出这个“闭”字或“扩充”二字；凡没有指明的地方，均默认指开平面。P r o x y x y 图 1.1 5具体地，利用解析几何知识，我们可以推出在重合的直角坐标系下，扩充复平面上点的坐标与复C球面上对应点的坐标的关系式：S 设与上的点相应的上的点为，则有Ciy

11、xzS),(321xxxZ11) 1(12232221zzxizzzxzzzx及321 1xixxiyxz3.3.关于关于有如下规定有如下规定（1）的实部、虚部及幅角（幅角的定义见后）都无意义，；（2）运算，都无意义；（特别注意，也无意义，这不同于实分析）0 00（3）时，；aaa a0a（4）（但可为）时，；0aaa0a（5）在扩充复平面上，任一直线都是通过无穷远点的。同时，没有一个半平面包含点。 【注注】：扩充复平面上点只有一个，它和实分析中的、的概念不同。3x)(2yx)(1xx) 1 , 0 , 0(N) 1, 0 , 0(SO)0,(yxz),(321xxxZ63 复数的三角形式及指

12、数形式1.1.复数的三角形式复数的三角形式利用直角坐标与极坐标的关系（，） ，可以将非零复数的代数形式转cosrx sinry iyxz 化为三角形式来表示： )sin(cosirz其中（即的模） ；称为复数的幅角，记为。zyxr22zxyArctgzArgz于是我们有非零复数的实部、虚部与模、幅角之间的如下关系：，zzz22ImRe|zzArctgArgzReIm以及 ，Argzzzcos|ReArgzzzsin|Im 后两式即直角坐标与极坐标关系，的复数记法。cosrx sinry 需要指出，任何一个非零复数的辐角不是单一的值，而是zArgz有无穷多个值，其中每两个幅角相差的整倍数。我们约

13、定，以2 表示的某个特定值，则一般值与此特定值有如下关系：zargArgz )2,1,0,(k 2argLkzArgz 我们又规定符合条件 zarg的那一个幅角值为的主值，或称之为的主幅角。主幅角也常记为。Argzzzarg注意，当时，其模为 0，幅角无定义。0z对同一个非 0 复数，当用表示的主幅角时，与反正切的主值有如下zzargzzargxyArctgxyarctg关系：)0(arg zz在第四象限时当在第三象限时当在第二象限时当在第一象限时当zxyarctgzxyarctgzxyarctgzxyarctg其中。22xyarctg2.2.复数的指数形式复数的指数形式利用欧拉欧拉(Eule

14、r)(Euler)公式公式1 11欧拉公式涉及到复指数函数的特例虚指数函数，人们在去认识它时，首先需要作出它的定义。一般复变函数论文zeie献就把欧拉公式直接作为虚指数函数的定义，然后借复数的三角形式去验证这样定义的合理性，但这样做显得突然。ie 在菲赫金哥尔茨的数学分析原理第二卷第一分册 254 目或华东师范大学数学分析下册第十四章3 或同济大学高等数学或樊映川高等数学讲义中，则是通过复幂级数（属于代数函数的级数）来定义复指数函数（属于超越ze 函数） ，然后再推出欧拉公式，这样显得更有逻辑更深刻。当然，这并不是说一般复变函数函数论文献中那样直接去定义虚指数函数以及在解析函数一章中专门开辟一

15、节去直接定义复超越函数、和（这里所谓直接，就是指利iezezcoszsin 用实超越函数去定义复超越函数）不合逻辑，它主要是考虑到复级数概念及理论是放在解析函数之后才引入的这样一种逻z0xy7sincosiei（或写为，）2cos iieeieeii2sin 通过非零复数的三角形式又可以写成指数形式：zirez 也就是说，任一非零复数总可以表成，这里的不必取主值。zziezzargzarg容易验证，复指数函数的一些公式如下：4 复数的乘幂与方根1.1.复数的乘方复数的乘方考虑乘积的特例非零复数的正整数次幂。设，则znzirez )sin(cosninrerzninnn 当时，有1r )sin(cos)sin(cosninin这就是著名的棣莫弗(De(De Moivre)Moivre)公式。2.2.复数的