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1、1.1 度量空间的定义与极限0第一章第一章 度量空间度量空间若在实数集中点列的极限是时，我们使用来表示和的接近程度，事实上，可表示为数轴上和这Rnxx|nxxnxx|nxxnxx两点间的距离，那么实数集中点列收敛于也就是指和之间的距离随着而趋于 0，即 于是人们就Rnxxnxxn lim (, )0nnd x x 想，在一般的点集中如果也有“距离” ，那么在点集中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是XX什么？诗人顾城的一首诗远和近对距离的感受又如何呢？远和近远和近你一会看我一会看云我觉得你看我时很远你看云时很近这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味
2、，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系现实距离和心理距离并不总是一致的现实距离很远，但心理距离却可能很近， “海内存知己，天涯若比邻”，即是此意也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了那么如何给出距离这一概念？1.1 度量空间的定义与极限度量空间的定义与极限1.1.1 度量空间的定义与举例度量空间的定义与举例定义定义 1.1.1 设为一非空集合若存在二元映射，使得，均满足以下三个条件：X:d XX R, ,x y zX（1）且当且仅当 (非负性非负性 Positivity)；( , )0,d x y ( , )0d x y xy
3、（2） (对称性对称性 Symmetry)；( , )( , )d x yd y x（3） (三角不等式三角不等式 Triangle inequality)，( , )( , )( , )d x zd x yd y z则称为上的一个距离函数距离函数，称为距离空间距离空间或度量空间度量空间(Metric Spaces)，称为和两点间的距离距离dX(, )X d( , )d x yxy注注 1：在不产生误解时，可简记为(, )X dX下面我们来看一些具体的例子例例 1.1.1 欧氏空间欧氏空间 nR设，定义 nR12( ,)|,1,2, nix xxxR inLL 21( , )()nii id
4、x yxy其中 ，可以验证是一个度量空间12( ,),nxx xxL12(,)nyy yyLnR(, )nRd在证明之前，引入两个重要的不等式引理引理 1.1.1 (许瓦兹许瓦兹(Schwarz)不等式不等式) 任给个实数，有2n1212,nna aa b bbLL(1.1)11 2222111() ()nnniiii iiiabab证明证明 任取实数，则由第一章 度量空间1222211110()2nnnniiiiii iiiiabbaba知右端二次三项式的判别式不大于零，即2 22111240nnniiii iiiabba g于是可得(1.1)式成立进一步有 H lder 不等式11111(
5、) ()nnnpqpq iiii iiiabab其中且，称这样的两个实数为一对共轭数,1p q 111pq, p q引理引理 1.1.2 闵可夫斯基闵可夫斯基(Minkowski)不等式的不等式的和形式和形式 任给个实数及，有2n12,na aaL12,nb bbL(1.2)111 222222111()nnniiii iikabab证明证明 由(1.1)式得2221111()2nnnniiiiii iiiiabaabb11 22222211112nnnniiii iiiiaabb211 222211nnii iiab这就证明了(1.2)式进一步可有 Minkowski 不等式的一般形式，其中
6、1k 111111()() ()nnnkkkkkk iiii iiiabab例例 1.1.1 欧氏空间欧氏空间 设，定义 nRnR12( ,)|,1,2, nix xxxR inLL1k (1.3)21( , )()nii id x yxy其中 ，可以验证是一个距离函数12( ,),nxx xxL12(,)nyy yyLnR(, )nRd证明证明 非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证(3)也成立对于任意的，由闵可夫斯基不等式(1.2)有12( ,)n nzz zzRL1 221nii ixz1 221niiii ixyyz，1 221nii ixy1 221nii iyz即从而得证是
7、一个距离函数( , )( , )( , )d x zd x yd y zd注注 2：称为维欧氏空间欧氏空间，称为欧氏距离或标准欧氏距离今后若不作特殊申明，凡提到度量空间，均指由(1.3)式的欧氏距(, )nRdndnR离所定义的注注 3：在中我们还可以定义其他的距离：nR；1( , )max |kkd x yxy1.1 度量空间的定义与极限22 1( , )|nkk kdx yxy可以验证距离、均满足条件(1)、(2)和(3) 1d2d注注 4：在中比较上述三种距离、和，可看看他们各表示什么？2Rd1d2d由此知道，在一个集合上，定义距离的方法可以不止一种但务必注意的是，由于定义的距离不同，所
8、以即使基本集相同，也应视他们为不同的度量空间下面的例子说明任何一个集合上均可定义距离，使其成为度量(距离)空间例例 1.1.2 离散度量空间离散度量空间设为非空集合，定义距离X, x yX(1.4)00 ( , )1xydx yxy当时当时容易验证满足距离的三个条件，并称之为离散距离，为离散度量空间0d0(,)X d例例 1.1.3 连续函数空间连续函数空间 , C a b，定义 , : , |C a bfa bR f连续, , f gC a b， , ( , )max |( )( )| ta bd f gf tg t 证明证明 显然满足非负性(1)和对称性(2)，下面验证(3)也成立d及均有
9、( ), ( ), ( ) , f t g t h tC a b , ta b |( )( )| |( )( )|( )( )|f th tf tg tg th t , , max |( )( )|max |( )(| ta bta bf tg tg th t ），( , )( , )d f gd g h故称为连续函数空间连续函数空间，简记为 , ( , )max |( )( )| ta bd f hf th t ( , )( , )d f gd g h( , , )C a b d , C a b注注 5：在中我们还可以定义如下的距离： , C a b1( , )( )( )badf gf x
10、g x dx可以验证均满足条件(1)、(2)和(3)，所以也为一度量空间1d1( , ,)C a b d例例 1.1.4 有界数列空间有界数列空间l，对于，定义12 1( ,)( )| sup|nii ilxx xxxx LL( )ixx()iyyl， 1( , )sup|ii id x yxy 可以验证是一个距离函数，并称为有界数列空间有界数列空间，简记为d(, )ldl例例 1.1.5 次幂可和的数列空间次幂可和的数列空间ppl12 1( ,)( )| | |,1pp nii ilxx xxxxp LL，定义( ),()p iixxyyl (1.5)11( , )|pp pii idx y
11、xy(1.5)式是有意义的，因为由闵可夫斯基不等式及的定义知其右端有界可以证明是一个距离函数称为次幂可和的数列空次幂可和的数列空plpd(,)p pldp间间，简记为pl例例 1.1.6 次幂可积函数空间次幂可积函数空间p , pL a b(1)p , ( )| |( )|a,bppL a bf tf tL在上可积即： , , ( )|( )|ppa bL a bf tf tdt 第一章 度量空间3在中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数 对于，定义距离 , pL a b, , pf gL a b1 , ( , )(|( )( )|)ppa bd f gf tg tdt那么为度量空间 并称为
12、次幂可积函数空间次幂可积函数空间，简记为( , , )pL a b d( , , )pL a b dp , pL a b分析分析 集合具有下列重要性质： , pL a b(1)对线性运算是封闭的即若，是一常数，则, , pf gL a b , , , ppfL a bfgL a b(2) , , (1)pL a bL a bp设，令，则 , pfL a b(| 1)AEf(| 1), , BEfEa b|baABf dmf dmf dm|()pAfdmba|()pbafdmba 故( , )fL a b引理引理 1.1.3 闵可夫斯基闵可夫斯基(Minkowski)不等式不等式(积分形式积分形
13、式): 设、是可测集上的可测函数且( )f x( )g xE1k (1.6) 111 ( )( )( )( )kkkkkkEEEf xg xdxf xdxg xdx证明证明 因为 1( , )|( )( )|ppbad f gf tg tdt， 11 ( )( )ppppEEf xdxg xdx 所以(1.6)式有意义 显然非负性(1)和对称性(2)成立，下面验证三角不等式(3)也成立 对于任意的有( ), ( ), ( ) , pf x g x z xL a b1( , )|( )( )|ppbad f gf tg tdt1|( )( )( )( )|ppbaf tz xz xg tdt 1
14、1 ( )( )( )( )ppppEEf xz xdxz xg xdx( , )( , )d f zd z g上述例子涉及到常用的六个度量空间上述例子涉及到常用的六个度量空间： 维欧氏空间；离散度量空间；连续函数空间；有界数列空间；n(, )nRd0(,)X d , C a bl次幂可和的数列空间；次幂可积函数空间pplp( , , )pL a b d1.1.2 度量空间中的极限度量空间中的极限极限理论是数学分析的基础, 数学分析主要研究微分和积分, 而极限又是微积分学大厦的基石，在数学分析中, 利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数, 广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分等概念，可见极限思想贯穿于整个数学分析课程，它也是高等数学必不可少的一种重要思想同样地，在度量空间中也可
