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1、5.2 非负简单函数的勒贝格积分非负简单函数的勒贝格积分定义定义 设为可测集，为 E 上一个非负简单函数，即 E 表示为有限个互不相qER( )x交的可测集之并，而在每个上，取非负常值，也就是说12,.kE EEiE( )xic, 这里是上的特征函数.1( )( ) ikiE ixcx( ) iExiE在 E 上的勒贝格积分（简称 L 积分）定义为 ( )x1( )kiiEix dxcmE定理定理 1 设为可测集，为 E 上一个非负简单函数.我们有qER( )x（i）对于任意的非负实数 c, ;( )( ) EEcx dx cx dx（ii）设 A 和 B 是 E 的两个不相交的可测子集，则(
2、 )( )( ) A BABx dxx dxx dxU（iii）设是 E 的一列可测子集，满足1nnA ,121nnAAAALL n 1nAEU则lim( )( )nAEnx dxx dx 定理定理 2 设为可测集，和都是 E 上的非负简单函数.则qER( )x( )x（i）;( )( )( ( )( ) EEEx dxx dxxx dx(ii)对于任意的非负实数，有和.( )( )( )( ) EEEx dxx dxxx dx5.3 非负可测函数的勒贝格积分非负可测函数的勒贝格积分定义定义 设为可测集，是 E 上一个非负可测函数， 在 E 上的勒贝格积qER( )f x( )f x分定义为.
3、( )sup( ):( )0( )( ) EEf x dxx dxxExExf x是上的简单函数且时，显然，如果，则称 f(x)在 E 上勒贝格可积.0( ) Ef x dx ( ) Ef x dx 定理定理 1 设为可测集，为 E 上一个非负可测函数.我们有qER( )f x（i）若 mE=0，则( )0 Ef x dx （ii）若，则 f(x)=0 a.e.于 E；( )0 Ef x dx （iii）若，则 a.e.于 E；( ) Ef x dx 0( )f x （iv）设 A 和 B 是 E 的两个不相交的可测子集，则.( )( )( ) A BABf x dxf x dxf x dxU
4、定理定理 2 设为可测集，和都是 E 上的非负可测函数.我们有qER( )f x( )g x（i）若a.e.于 E，则，这时，若在 E 上 L( )( )f xg x( )( ) EEf x dxg x dx( )g x可积，则也在 E 上 L 可积；( )f x（ii）若 a.e.于 E，则；特别地，若 a.e.于( )( )f xg x( )( ) EEf x dxg x dx( )0f x E，则.( )0 Ef x dx 定理定理 3（列维 Levi）设为可测集，是 E 上的一列的非负可测函数.当qER1nnf 时对于任一自然数 n，有，令，则xE1( )( )nnfxfx( )lim
5、( )nnf xfx xE.( )( )nEEfx dxf x dx定理 4 设为可测集，和都是 E 上的非负可测函数，都是非qER( )f x( )g x和负实数，则.( )( )( )( ) EEEf xg x dxf x dxg x dx特别地，( )( ) EEf x dxf x dx( ( )( )( )( ) EEEf xg x dxf x dxg x dx定理 5（逐项积分定理）为可测集，是 E 上的一列的非负可测函数，则qER1nnf .11( )( )nnEEnnfx dxfx dx定理 6【法图（Fatou）引理】为可测集，是 E 上的一列的非负可测函数，qER1nnf 则
6、.lim( )lim( )nnEEnnfx dxfx dx 5.4 一般可测函数的勒贝格积分一般可测函数的勒贝格积分定义定义 为可测集，为 E 上的可测函数.令qER( )f x( )max( ( ) 0)( )max( ) 0).fxf xfxf x，则和都是 E 上的非负可测函数，当时ffxE( )( )( ),( )( )( )fxfxf xfxfxf x若和中至少一个有限，则称 f 在 E 上积分确定，称( ) Efx dx( ) Efx dx为 f 在 E 上的勒贝格积分，简称 L 可积.( )( ) EEfx dxfx dx定理定理 1 设为可测集，我们有qER（i）若但，则 E
7、上的任何实函数 f 都在 E 上 L 可积且E 0mE ；( )0 Ef x dx （ii）若，则，即a.e.于 E；( )fL E(+ )0mE f ( )f x （iii）设 f 在 E 上积分确定，则 f 在 E 的任一可测子集 A 上也积分确定，又若 ,这里 A 和 B 都是 E 的可测子集且，则EABUAB I；( )( )( ) EABf x dxf x dxf x dx（iv）设 f 在 E 上积分确定且 a.e.于 E，则 g 也在 E 上积分确定且( )( )f xg x；( )( ) EEf x dxg x dx（v）设 f 和 g 都在 E 上积分确定且 a.e.于 E，
8、则( )( )f xg x( )( ) EEf x dxg x dx特别地若且 a.e.于 E，则；mE ( )bf xB( ) EbmEf x dxBmE（vi）设 f 在 E 上 L 可积，则也在 E 上 L 可积，且；f( )( ) EEf x dxf x dx（vii）设 f 是 E 上的可测函数，g 是 E 上的非负可积函数且 a.e.于 E，则( )g( )f xxf 也在 E 上 L 可积且.( )( )( ) EEEf x dxf x dxg x dx定理定理 2 设为可测集，设 f 和 g 都是 E 上的 L 可积函数，则qER（i）对于任意的，在 E 上 L 可积且Rf(
9、)( ) EEf x dxf x dx（ii）在 E 上 L 可积且fg( ( )( )( )( ) EEEf xg x dxf x dxg x dx（iii）对于任意的在 E 上 L 可积，且,Rfg ( )( )( )( ) EEEf xg x dxf x dxg x dx定理定理 3（积分的绝对连续性）设为可测集，,则对于任意的.存在qER( )fL E0.使得对于任意的可测集，只要，就有0AEmA( )( ) EEf x dxf x dx定理定理 4（积分的可数可加性）设为可测集，,这里每个都是可测集且qER 1nnEE UnE时，设 f 在 E 上积分确定，则ijijEE I1( )
10、( )nnEEnf x dxfx dx定理 5（勒贝格控制收敛定理）设为可测集，是 E 上的一列可测函数.F 是qER1nnf E 上的非负 L 可积函数，如果对于任意的自然数 n，a.e.与 E 且( )( )nfxF xa.e.于 E，则lim( )( )nnfxf x （i）；lim( )( )0nEnfxf x dx （ii）.lim( )( )nEEnfx dxf x dx 定理定理 6 设为可测集，都是 E 上的可测函数，F 是 E 上的非qER(1,2,3,)nffn L和负可积函数，如果a.e.与 E 且时，则( )( )nfxF xn nff(i) ;lim( )( )0nE
11、nfxf x dx (ii) ；lim( )( )nEEnfx dxf x dx 定理定理 7 设为可测集，是 E 上的一列 L 可积函数.如果正项级数qER1nnf 收敛，则函数项级数在 E 上 a.e.收敛，其和函数在 E 上 L 可积，且1( ) Enf x dx1( )n nfx11( )( )nnEEnnfx dxfx dx定理定理 8 设为可测集，是上的是函数.如果对于任意的qER( , )f x t( , )Ea b作为 x 的函数在 E 上 L 可积，对于 a.e.的，作为 t 的函数在( , ),( , )ta bf x txE( , )f x t上可导且，这里 F 是 E 上某个非负 L 可积函数，则( , )a b( , )( )f x tF xt作为 t 的函数在上可导，且( , ) Ef x t dx( , )a b.( , ), ) EEdf x t dxf x t dxdtt（
