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1、递归数列通项公式的求法确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项 公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。基础知识基础知识定义：对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶*Nn),(21knnnnaaafaLk递归关系或称为阶递归方程，由阶递归关系及给定的前项的值(称为初kkkkaaa,21L始值)所确定的数列称为阶递归数列。若是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非kf线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。 求递归数列的常用方法： 一公式法(1)设是等差数列，首项为，公差为，则其通项为；na1addmna
2、amn)( (2)设是等比数列，首项为，公比为，则其通项为；na1aqmn mnqaa(3)已知数列的前项和为，则。nnS)2() 1(11 nn SSSannn二迭代法迭代恒等式：；112211)()()(aaaaaaaannnnnL迭乘恒等式： ，()1 12211aaa aa aaannnn nL0na迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：类型一：已知，求通项；)(,11nfaabannna类型二：已知，求通项；nnanfaba)(,11na三待定系数法类型三：已知，求通项；) 1(,11pqpaabannna四特征根法类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为（） ，n
3、nnqxpxx120, 1，qqpn为常数其特征方程为，其根为特征根。qpxx2（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（,nn nBAx） ，其中 A、B 由初始值确定；1n（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（） ，其中 A、B 由初始值确定。1) 1(n nnBAx1n证明：设特征根为，则, pq所以=12nnxx11nnnxqxpxnnqxxp1)(nnxx1)(1nnxx即是以为公比，首项为的等比数列。1nnxx)12xx所以，所以1 121)( n nnxxxx2 121)( n nnxxxx(1)当时，则其通项公式为，其中，nn nBAx )(12 xxA；
4、 )(12 xxB(2)当时，则其通项公式为，其中1)1(n nnBAx 121,xxBxA4.4.（改编）（改编）已知数列 nx12x 且143 2n n nxxx则数列 nx的通项公式 。命题意图：命题意图：本试题主要考查了数列的通项公式的求法，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项，虽然这样的解决对于学生来说是比较有点难度的，但通过不同的构造方法使学生体会一些特殊的数列通项公式的推导，有利于学生思维的开发。参考答案：参考答案：解法一：由143 2n n nxxx得得 133324n n nxxx115133nnxx111115()3434nnxx故数列是以为首项以 5 为公比的等比数
5、列1134nx3 4= 故11 34nx3 415n143 315nnx 解法二：由143 2n n nxxx得得 131124n n nxxx 11111 1515nnxx111111()14514nnxx故数列是以为首项以为公比的等比数列1114nx1 121 5= 故11 14nx1 1211 5n（）143 315nnx 解法三 由143 2n n nxxx得到该数列的一个特征方程43 2xxx即2230xx，解得3x 或1x 14333322nn n nnxxxxx 14355( 1)122nn n nnxxxxx 两式相除可得11331 151nnnnxx xx,而113231 1
6、2 13x x 故数列3 1nnx x是以1 3为首项以1 5为公比的等比数列1311( )135nnnx x ,故1119 51433 513 51nnnnx。五代换法 代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等，其中代换相消法可以解决以下类型五：已知，求通项。caba21,)0(11rrqapaannnna六不动点法若，则称为的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等)(f)(xf差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。类型六：(1)已知，且，求通项；0(1cdacbaaann n)0bcadna(2)已知，求通项；caabaaann n221na七数学归纳
7、法 八构造法典例分析典例分析例例 1数列an中，a1=1,an+1an,且成立，求。)(211122 1nnnnnnaaaaaana例例 2已知数列an满足：，求。11 2212, 2, 1 nnnn naaaaaaana例例 3数列满足，求。na L, 2 , 1),24141 (161111naaaannnna专题专题 求求递递推数列通推数列通项项的特征根法的特征根法一、形如一、形如是常数）的数列是常数）的数列21( ,nnnapaqap q形如是常数）的二阶递推数列都可用112221,( ,nnnam am apaqap q特征根法求得通项，其特征方程为na2xpxq若有二异根，则可令是
8、待定常数）, 1212( ,nn naccc c若有二重根，则可令是待定常数）1212()( ,n nacncc c再利用可求得，进而求得1122,am am12,c cna例例 1 已知数列满足，求数列的通na* 12212,3,32()nnnaaaaa nNna项na例例 2 已知数列满足，求数列的通项na* 12211,2,44()nnnaaaaa nNnana二、形如二、形如的数列的数列2n n nAaBaCaD对于数列，是常数且）2n n nAaBaCaD* 1,( , , ,am nNA B C D0,0CADBC其特征方程为，变形为AxBxCxD2()0CxDA xB若有二异根，则可令（其中 是待定常数） ，代入, 11nnnnaacaa c的值可求得 值。12,a ac这样数列是首项为，公比为 的等比数列，于是这样可求得nna a 11a a cna若有二重根，则可令（其中 是待定常数） ，代111nncaac入的值可求得 值。12,a ac这样数列是首项为，公差为 的等差数列，于是这样可求1na1nac得na例例 3 已知数列满足，求数列的通项na1 1 122,(2)21n n naaananana例例 4 已知数列满足，求数列的通项na* 11212,()46n n naaanNanana
