学期期中考试

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1、北京航空航天大学20112012 学年第一学期期中 考试 工科数学分析 (I) 试卷班号 学号 姓名 成绩 题 号一二三四五六七总分成 绩阅卷人校对人20112011 年年 1111 月月 2525 日日2一一 计算下列各题（每道题目计算下列各题（每道题目 5 分，共分，共 40 分）分）1)用 Stolz 定理计算极限 .4123 3122123limn nnn n+ +L解：使用 Stoltz 定理，411123 3122221231limlimlim(1)212nnn nnnnnnnnn nnnn+ +=-L建议评分标准：建议评分标准：使用 Stoltz 定理 3 分，求出答案 2 分2

2、)设 求.()32( )1xf xxxx=+( )fx解：()()232( )321 (ln)xxxfxxx xxxx xx=+建议评分标准：建议评分标准：加号前面一部分 2 分，加号后面一部分 3 分。3） 求极限.10(1)limxxxe x解：11ln(1) 1002000(1)1limlim11ln(1) 11ln(1)1limlimlim22xxxxxxxxxeeexxxxxexxeeexxx 建议评分标准：建议评分标准：转换指数形式 1 分，使用 Lhostpital 法则 3 分，答案 1 分4） 求函数的拐点.( )()2234f xxxx=-解：，解方程得，再注意到在之外(

3、)1 340(1)9fxxx-=-( )0fx =1x=( )fx0x=的点都有定义，因此的可能拐点只能是，当时，函( )f x01或或者者(1,)x+( )0fx 数为严格凸，当时，函数为严格凹，当时，( )f x(0,1)x( )0fx ( )f x01和和建议评分标准：建议评分标准：求出二阶导数 2 分，凹凸性判断 3 分。35）设求.(cossin ), (sincos ).xatt yattt=+=- dy dx解：，因此。sindyattdt=( sincos )dxattdt=-+sin sincosdytt dxtt=-+建议评分标准：建议评分标准：，各 2 分，答案 1 分。

4、dx dtdy dt6）求函数在上的最值.( )lnf xxx(0,)解：，由方程可解得。因此是的唯一驻点。( )ln1fxx( )0fx 1xe1xe( )f x易见当时，因此在时严格单减。在时，10xe( )0fx ( )f x10xe1xe，因此此时严格单增。由此可得在取得最小值。又因为( )0fx ( )f x( )f x1xe1e如果有最大值，则该最大值点也应为驻点，因此没有最大值。( )f x( )f x建议评分标准：建议评分标准：求出一阶导数 1 分，求出驻点 1 分，判断最小值点 2 分，最大值点 1 分7）判断函数间断点的类型.211( )x nf xex解：函数在时，由初等

5、函数连续性知，均为连续点。0x当时，没有定义，但由 Lhospital 法则，我们有0x=( )f x，其中为 的一个多项式。2221100!lim( )limlimlim0 ( )tnxxnttxxtt netnf xxee P t( )nP tt因此为的可去间断点。0x=( )f x建议评分标准建议评分标准：连续点的判断 1 分，Lhospital 法则求极限 3 分，的间断点类型 1 分。0x=8）求函数在处直到四阶的 Taylor 展开（Peano 余项形式）.2ln(1)xx0x 由知234 4ln(1)()234xxxxxo x4。22222 32424111ln(1)()()()

6、() )234xxxxxxxxxxo xx又由，当时。因此244() )0()o xxx0x 。22222 324422344111ln(1)()()()()234 121()234xxxxxxxxxxo xxxxxo x 另解：。2322344121ln(1)ln(1)ln(1)()234xxxxxxxxo x建议评分标准：建议评分标准：或者的泰勒展开式 2 分，剩下的计算 3 分。ln(1)xln(1)x二二 证明下面问题（证明下面问题（15 分）分）1） ;3 sin06xxxx证明：构造函数，则，. 当3 ( )sin()6xF xxx2 ( )cos12xF xx ( )sinFxx

7、x 时，因此严格单调递增，因此，因此0x ( )sin0Fxxx ( )F x( )(0)0F xF严格单调递增，因此在时成立，因此。( )F x( )0F x 0x 3 sin06xxxx建议评分标准：建议评分标准：构造函数得 2 分，判断单调性 3 分，判断单调性 3 分( )F x( )F x( )F x2） 设函数，证明.1ln ()nyxx n为正整数( )(1)!nnyx证明：用数学归纳法，时，命题成立。1n lnyx1 yx假设当时命题成立，则当时，。易得nk1nklnkyxx12lnkkykxxx。(1)12( )1( )(1)!(ln)(ln )kkkkkkkkykxxxk

8、xxkxx命题对也成立，所以该命题对所有正整数都成立。1nkn建议评分标准建议评分标准：的证明 2 分，对时，求出得 2 分，归纳过程 3 分。1n 1nk y三三 （10 分）分）设 ，证明不等式对1110,0,(2)nnnAxxxAxA(1,2,)n L11nnxxA所有正整数成立，并求出极限.nlimnnx 证明：用数学归纳法，时，1n 5，211111(2)(2)xxAxxAxA。2 2111111(2)()xxAxA xAAA不等式成立，假设时，成立，则时，nk11kkxxA1nk，211111(2)(2)kkkkkxxAxxAxA。2 2111111(2)()kkkkxxAxA x

9、AAA不等式也成立。因此对所有正整数都成立。11nnxxAn由于单调上升有上界，知存在，设，则满足方程，解得nxlimnnx limnnxa a(2)aaAa，或，由知不成立，因此。0a 1aA1ax0a 1limnnxA建议评分标准：建议评分标准：使用数学归纳法证明不等式 5 分，求极限 5 分。四四 （10 分）分）用 Cauchy 收敛原理证明下面数列收敛.sin2sin3sin 2(2sin2 )3(3sin3 )(sin)nxxnxxxxn nnxL解：对数列而言，sin2sin3sin 2(2sin2 )3(3sin3 )(sin)nxxnxxxxn nnxLsin(1)sin(2

10、)sin()| |(1)(1 sin(1) )(2)(2sin(2) )()(sin() ) 1111 (1)(1)(2)(1)()npnnxnxnp xxxnnnxnnnxnp npnp xn nnnnpnpn LL 任取，取自然数，则对于任意的整数，以及正整数，均有01 NnNp成立。因此数列收敛。1|npnxxnnx建议评分标准：建议评分标准：不等式放缩 5 分，Cauchy 收敛原理 5 分。五五 （15 分）设在处二次可导，且，由 Lagrange 中值定理知存在，( )f x0x0()0fx0( )1h使得式子 000()()( ) )f xhf xfxh h h成立，计算或者证明

11、下面结论:61） 写出和在处的 Taylor 公式；( )f x( )fx0xx2） 证明 . 01lim ( )2hh 解：1）， 000()()()( )fxhfxfx ho h.22 00001()()()()()2f xhf xfx hfx ho h2) 由在处的泰勒展开式知( )fx0xx（1）00000022 000()()( ) )()()() ( )( ( ) )()()() ( )()f xhf xfxh h hf xfxfxh hoh h hf xfx hfxh ho h 与在处的 Taylor 展开式( )f x0xx比较可得，即，因此。222 001() ( )()()

12、2fxh hfx ho h22 011()( )2()o hhfxh 01lim ( )2hh 建议评分标准：建议评分标准：Taylor 展式各 3 分， （1）式 3 分，的表达式 4 分，最后求极限得结论 2 分。( )h六六 （10 分）分）设在连续，且极限存在，证明在上一致连续.( )fx(0, a 0lim( ) xx fx ( )f x(0, a证明：由于函数在连续，且极限存在，可以扩充为上的( )x fx(0, a 0lim( ) xx fx ( )x fx0, a连续函数，因此在上有界，取，使得对所有成立。( )x fx(0, a0M |( )|x fxM(0, xa对于任意的

13、，由 Cauchy 中值定理，存在，使得成12(0, xxa1212()()2( )f xf xfxx立，因此总是成立。由于在上一致连续，任取，1212|()()| 2|f xf xMxxx0, a0存在，只要，就有，此时，因此在012|xx12|2xxM12|()()|f xf x( )f x上一致连续。(0, a建议评分标准：建议评分标准：的有界性 3 分，Cauchy 中值定理的使用 3 分，一致连续性判断 4 分。( )x fx附加题：附加题：七七 下面题目任选其一（下面题目任选其一（10 分）分）71） 设，且，令( )0,1f xC( )0f x 0( )max( ),0,1 txM xf tx =证明：函数连续的充要条件是是单调递增的.( )( )lim()( )nnf xQ xM x =( )f x2） 证明开区间套定理1） 设开区间序列满足*,nnnIa bnN12-1218，因此. 因此. 若还存在另一点，则对不1nnbbx+(,)nna bx1,ii ia bI1,ii ia bI等式两侧取极限知，类似地，由知，因此，由此得的唯一 na nb性。建议评分标准：建议评分标准：由单调有界得极限的过程 6 分，满足的性质讨论 2 分，唯一性讨论 2 分。