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1、赋赋范范线线性空性空间间与与 Banach 空空间间、度量空、度量空间间、内、内积积空空间间的，希的，希尔尔伯特空伯特空间间之之间间的关系的关系（ （1） ）赋赋范向量空范向量空间间是具有是具有“长长度度”概念的向量空概念的向量空间间。是通常的欧几里德。是通常的欧几里德空空间间 Rn 的推广。的推广。Rn 中的中的长长度被更抽象的范数替代。度被更抽象的范数替代。“长长度度”概念的概念的特征是：特征是：零向量的零向量的长长度是零，并且任意向量的度是零，并且任意向量的长长度是非度是非负实负实数。数。一个向量一个向量 v 乘以一个乘以一个标标量量 a 时时， ，长长度度应变为应变为原向量原向量 v
2、的的 |a|（ （ a 的的绝对值绝对值）倍。）倍。三角不等式成立。也就是三角不等式成立。也就是说说， ，对对于两个向量于两个向量 v 和和 u ，它，它们们的的长长度和度和（ （“三角形三角形”的两的两边边）大于）大于 v+u （第三（第三边边）的）的长长度。度。一个把向量映射到非一个把向量映射到非负实负实数的函数如果数的函数如果满满足以上性足以上性质质，就叫做一个半，就叫做一个半范数；如果只有零向量的函数范数；如果只有零向量的函数值值是零，那么叫做范数。是零，那么叫做范数。拥拥有一个范数有一个范数的向量空的向量空间间叫做叫做赋赋范向量空范向量空间间（ （2） ）Banach 空空间间是完是
3、完备备的的线线性性赋赋范向量空范向量空间间（ （3）在数学中）在数学中,度量空度量空间间是一个集合，在其中可以定是一个集合，在其中可以定义义在在这这个集合的元个集合的元素之素之间间的距离的距离(叫做度量叫做度量)的概念的概念（ （4）内）内积积空空间间的定的定义义： ：设设 V 是数域是数域 P 上的上的线线性空性空间间， ，V 到到 P 的一个代的一个代数运算（数运算（VVP），），记为记为 ( , ) 。如果。如果( , )满满足下列条件：足下列条件：1) ( , ) = ( , )； ；2) ( + ,) = ( ,) + ( ,)； ；3) (k , ) = k( , )； ；4) (
4、 , )0，当且，当且仅仅当当 =0 时时( , )=0， ，其中其中 k 是数域是数域 P 中的任意数，中的任意数， 、 、 、 、 是是 V 中的任意元素，中的任意元素，则则称称( , )为为 与与 的内的内积积，定，定义义了内了内积积的的线线性空性空间间 V 称称为为内内积积空空间间。特。特别别地，地，称称实实数域数域 R 上的内上的内积积空空间间 V 为为 Euclid 空空间间（欧式空（欧式空间间）；称复数域）；称复数域 C上的内上的内积积空空间间 V 为为酉空酉空间间。 。（ （5）希）希尔尔伯特空伯特空间间：在一个复向量空：在一个复向量空间间 H 上的上的给给定的内定的内积积并并导导出一种出一种范数，如果其范数，如果其对对于于这这个范数来个范数来说说是完是完备备的，那么它就是希的，那么它就是希尔尔伯特空伯特空间间。 。这这里的完里的完备备性是指，任何一个柯西列都收性是指，任何一个柯西列都收敛敛到此空到此空间间中的某个元素，中的某个元素，即它即它们们与某个元素的范数差的极限与某个元素的范数差的极限为为 0。希。希尔尔伯特空伯特空间间也是一个内也是一个内积积空空间间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念），希概念），希尔尔伯特空伯特空间还间还是一个完是一个完备备的空的空间间。 。
