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1、 东莞中公教育 12018 广东公务员考试行测数学题：几何染色，灰飞烟灭几何问题是行测数量关系中的必考考点，它的考察包括平面几何和立体几何，其中平面几何的考察以求解长度和面积为主，立体几何主要考察的是体积和表面积的求解，而在立体几何的考察中还有一种比较有意思的题型就是立体几何染色问题。对这类问题有了解过的朋友都知道，它对于我们的空间思维能力要求比较高，那么空间思维能力较差的话，我们要怎样应对这类题目呢?接下来中公教育专家跟大家一起来探讨一下，相信只要我们掌握了相应的基础知识，这类问题解决起来就会游刃有余了。一、立体几何染色问题的基础知识在一个边长为 n 的正方体表面全部涂上蓝色，将其切成边长为
2、 1 的小正方体，则在这些小正方体可分为 3 面有色、2 面有色、1 面有色和 0 面有色四种。从下图上我们看出一个正方体有 8 个顶点，12 条棱，6 个面，其中顶点上的 8 个小正方体 3 面都涂上了蓝色，在棱上而不在顶点上的小立方体 2 面涂上了蓝色，正方体的外表面非棱非角部分面涂了蓝色。故：3 面有色的一共有：8 个;2 面有色的一共有：12(n-2)个;1 面有色的一共有：6(n-2)2 个;0 面有色的一共有：(n-2)3 个。同理，我们可以拓展到长方体。在一个长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体表面全部涂上颜色，将其切成边长为 1 的小正方体，则在这些小正方体可分为 3 面有色
3、、2 面有色、1 面有色和 0 面有色四种，其中：3 面有色的一共有：8 个;2 面有色的一共有：4(a-2)+(b-2)+(c-2)个;1 面有色的一共有：2(a-2)(b-2)+(a-2)(c-2)+(b-2)(c-2)个;0 面有色的一共有：(a-2)(b-2)(c-2)个。二、真题应用1、一个边长为 8cm 的立方体，表面涂满油漆，现在将它切割成边长为 0.5cm 的小立方体，问两个表面有油漆的小立方体有多少个?A、144 B、168 C、192 D、256东莞中公教育 2【中公解析】两个表面被涂油漆的小立方体在棱上而不在顶点上。大立方体棱长为 8cm，切成小立方体棱长为 0.5cm，
4、则每条棱被分成 16 段，其中两端不符合要求，因此每条棱上有 14 个小立方体符合。立方体共有 12 条棱，则符合要求的小立方体有 1412=168 个。故正确答案为 B。2、将一个 8 厘米8 厘米1 厘米的白色长方体木块的外表面涂上黑色颜料，然后将其切成 64 个棱长 1 厘米的小正方体，再用这些小正方体堆成棱长 4 厘米的大正方体，且使黑色的面向外露的面积要尽量大，问大正方体的表面上有多少平方厘米是黑色的( )。A、84 B、88 C、92 D、96【中公解析】由长方体木块切得的小正方体中，4 面黑的只有 4 块，2 面黑的正方体有 24 块，而大正方体 2面黑的刚好需要 24 块，用完
5、，3 面黑的需要 8 块，现在只有 4 块，少了 4，则只能用 1 面黑的代替，所以每个都少了 2 个面，共 4 个，则少 8 个面，少了 8 平方厘米，故大正方体表面黑色的面积为：446-8=88。故正确答案选 B。3、一个 555 的立方体表面全部涂上红色，再将其分割成 111 的小立方体，取出全部至少有一个面是红色的小立方体，组成表面全部是红色的长方体，可组成的长方体的体积最大是：A、125 B、98 C、96 D、94【中公解析】至少有一个面是红色的小立方体一共有：53-(5-2)3=125-27=98 个，8 个 3 面涂色的在长方体8 个顶点处，(5-2)12=36 个 2 面涂色
6、的在长方体的 12 条棱上，一面涂色的 98-8-36=54 个只能放在面的中间和里面。当新长方体体积为 98 时，其长、宽、高分别为 7、2、7(98=277)，2 面涂色的需要(7-2)8=40 个，4035，不满足，故排除 B;当新长方体体积为 96 时，其长、宽、高分别为 6、4、4(96=446)，2 面涂色的需要(4-2)8+(6-2)4=32 个，3235，满足要求，所以可组成的长方体的体积最大是 96。故正确答案选 C。通过以上三道题目，中公教育专家相信大家对于立体几何染色问题已经有了进一步的认识和理解，希望大家能够熟练掌握立体几何染色问题的基础知识，在做题的时候能够灵活运用。
