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1、第 1 页 共 8 页一（本题满分一（本题满分 30 分，每空分，每空 3 分）请把答案填在空中分）请把答案填在空中1、2n 级排列的逆序数是 ,(2n)(2n1).(1)12.nn (31) 2nn 2、4 阶行列式 D 的第二行元素依次为 2，x, 1，0。它们的余子式分别是-2，2，-2，y。第三行元素的代数余子式分别是 1，1，1，1。则 D = 0 。3、若一个级行列式中元素或为 1 或为，则的值必为（ d (1)n n D1D） 。 (a)、1 (b)、 (c)、奇数 (d)、偶数14、行列式的所有元素代数余子式之和是 2 。111 123 1495、 若向量组，的秩为 2，则+，
2、+，+的秩1 2 3 1 2 2 3 3 1 为 2 。6、已知向量可由向量组线12, 1231, 2,3 ,0,2, 5 ,1,0,2 性表示, 则向量组的秩为 2 。1212, 7、一个齐次线性方程组中共有个方程、个未知量，其系数矩阵的秩为 ，nmr若它有非零解，则它的基础解系所含解向量的个数为 m-r 。8、若向量组线性相关，则 _2_。123(1,0,1),(2,2,3),(1,2, ) t t 9、以下命题正确的是（2,4 ） 。第 2 页 共 8 页( 1)、等价向量组含相同个数的向量;(2)、若一个非齐次线性方程组有无穷多组解，则它的导出组有非零解;(3)、若矩阵的所有级的子式全
3、为零，则的秩为 ;A1r Ar(4)、初等行变换不改变矩阵的列秩。10、设向量组线性无关，则下向量组中线性无关的是 iii,iv ,123, ； 1223311223123( ),;( ),2iii 122331123123123()2,23,;(),.iiiiv 二. (10 分) 计算阶行列式n。211.11 321.11 332.11333.21 333.32nD MM MM MMMM MM解解 把第一行元素写成两组数的和211.11111.11100.00 321.11321.11321.11332.11332.11332.11333.21333.21333.21333.32333.3
4、2333.32nD MM MM MMMM MMMM MM MMMM MMMM MM MMMM MM1 1( 1)nnD 把第一列元素写成两组数的和第 3 页 共 8 页211.11311.11111.11321.11321.11021.11332.11332.11032.11333.21333.21033.21333.32333.32033.32nD MM MM MMMM MMMM MM MMMM MMMMMM MMMM MM13nD 两式相加有11 ,1(3( 1)22 ,n nnDn 偶 偶偶 偶三、 (6 分)计算阶行列式n。11121212221211.111.1.11.1nn nnn
5、nnx yx yx yx yx yx yDx yx yx y 解解 11121212221211121211.111.1.11.11,1()(),20,2nn nnnnnx yx yx yx yx yx yDx yx yx yx ynxxyynn 四(6 分分)就 a,b 的取值，讨论下矩阵的秩：第 4 页 共 8 页。112302164132711161Aab 解解 对 A 作初等行变换： 112301123021641012213271016211161024411230012210080000002Aaabbab （1）当 a=-8 且 b=-2 时，r(A)=2;（2）当 a=-8 且
6、 b-2 时，r(A)=3; （3）当 a-8 且 b=-2 时，r(A)=3; （4）当 a-8 且 b-2 时，r(A)=4。 五 （8 分） 求向量组 12341,2,1,3 ,1,1, 1,1 ,1,3,3,5 ,3, 5, 1, 7 , 的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。解解 将向量组排成列构成矩阵 A，对 A 作初等行变换：第 5 页 共 8 页111311132135011111310222315702221022011100000000A 所以是一个极大线性无关组，且12, 3124122,2. 六、 （10 分） 当为何值时，线性方程组a1231232
7、1231axxxxaxxaxxaxa 无解，有惟一解，有无穷多解？并在有无穷多解的情况下，写出它的所有解 （用导出组基础解系表示） 。解 将原方程组的增广矩阵化为阶梯型：2222322211111 110111101111101100(2)(1)(1)(1)aaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 当 原方程组无解；2,a 第 6 页 共 8 页当 且原方程组有唯一解；2,a 1,a 当 原方程组有无穷多解；此时方程组等价于 1,a 1231xxx 它的一个特解是导出组的基础解系为1 0,0 111,0,01 一般解是 任取。1212111 010,001kkk k 七 （15 分）
8、已知。123(1,0,1,0),(2,2, ,2),(3,1,1,1),(4, 1,6, )ab （1）当 a,b 为何值时，不能由向量组线性表示； 123, （2）当 a,b 为何值时，可由向量组线性表示，且表法唯一； 123, （3）当 a,b 为何值时，可由向量组线性表示，但表法不唯一； 123, 此时，写出由向量组线性表示的一般表达式。 123, 解解 将向量组排成列构成方程组系数矩阵 A，作为该方程组常数123, 项列。对增广矩阵作初等行变换：A第 7 页 共 8 页12341234 02110211 1160222 02100011234 0211 0200 0001Aaa bba
9、 b （1）当不能由向量组线性表示；1,b 123, （2）当 b=-1时，可由向量组线性表示，且表法唯一；2a 123, （3）当 a=-2,b=-1 时，可由向量组线性表示，但表法不唯一； 123, 此时，由向量组线性表示的一般表达式为 123, 123( 47)(21)kkk 其中 k 任取。八. . 证明题（15 分）：（1） （5 分）已知向量可由向量组线性表示，但不能由 12,.,r 线性表示。证明：不能由线性表示，但可由121,.,r r 121,.,r 线性表示。121,.,r （2） （10 分） 设是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，是其导出 12,.,t 组 Ax=0 的基础解系。证明：（i）是 Ax=b 的线性无关的解；12,.,t （ii）方程组 Ax=b 的任一个解都可表为的线性组12,.,t 第 8 页 共 8 页合。证 （1）如果可由线性表示，则由可由向量组
