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1、20-220-2 定义在定义在上函数的傅里叶级数上函数的傅里叶级数l , 0在研究波动问题,热的传导及扩散等实际问题,常常需要把定义在上的l , 0函数展开成傅里叶级数,特正弦级数,余弦级数.为此,需在上补充定)(xf0 , l义(延拓).在上按要求展开后再限制到上取值.即为在上的ll ,l , 0)(xfl , 0傅里叶级数展开式. 最常见的延拓为奇延拓,偶延拓. 先回顾例 1 的说明.o1 一、奇延拓, 图示 )(xfl , 0x )(0)( )( xfxf xF0 ,0, 0llxxx的傅里叶系数: 的奇延拓函数)(xFl 2TlTw2)(xf 22022sin)(2sin)(1sin)
2、(20cos)(2TTnTTnxdxnxfxdxnxFnwxdxxFTbnwxdxxFTalllllllLL , 2 , 1 , 2 , 1 , 0 nn二、偶延拓, 图示 )(xfl , 0x )()()(xfxfxF 0 , 0 ll xx的傅里叶系数 的偶延拓函数)(xF)(xf 0cos)(20nn bxdxhxfalllL, 2 , 1 , 0n例 1:将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.)0( 1)(xxxf解: (1)正弦级数,奇延拓 图示 2T1w0naL, 2 , 1 , 0n22sin)(2TTnnwxdxxFTb00sin) 1(2sin)(2nxdxxxdxxf 02)
3、cossincos(2 nnx nx nnxx nnnnn222)coscos1 (2 LL6 , 4 , 2, 5 , 3 , 1nn因此, 的正弦级数展开成为)(xf Lxxxxxxf4sin43sin)2(312sin2sin)2(21)( x0(2)余弦级数,偶延拓: 图示00cos) 1(2cos)(2nxdxxnxdxxfan02sincossin2 nnx nnx nnxx 2240 ) 1(cos2nnnLL, 5 , 3 , 1, 6 , 4 , 2nn222) 1(20020xxdxxa因此, 的余弦级数展开式为)(xf)5cos513cos31(cos4121)(22Lxxxxxf x0作业: 3(1) 二 3206P207P( 1(1) 2(1) )206P
