导数及其应用

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1、3.1 导数的概念及其运算导数的概念及其运算2014 高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导复习备考要这样做 1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程1 函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率为，若 xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为.fx2fx1x2x1yx2 函数 yf(x)在 xx0处的导数(1)定义称函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率 为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记

2、limx0fx0xfx0xlimx0yx作 f(x0)，即 f(x0) .limx0yxlimx0fx0xfx0x(2)几何意义函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)3 函数 f(x)的导函数称函数 f(x) 为 f(x)的导函数，导函数有时也记作 y.limx0fxxfxx4 基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c (c 为常数)f(x)_0_f(x)x ( 为实数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax

3、(a0，a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax (a0，a1)f(x)1xln af(x)ln xf(x) 1xf(x)tan xf(x)1cos2xf(x)cot xf(x)1sin2x5. 导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) (g(x)0)fxgxfxgxfxgxg2x6 复合函数的导数复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积难点正本 疑点清源1 深刻理解“

4、函数在一点处的导数” 、 “导函数” 、 “导数”的区别与联系(1)函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)是一个常数；(2)函数 yf(x)的导函数，是针对某一区间内任意点 x 而言的如果函数 yf(x)在区间(a，b)内每一点 x 都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值 x0都对应着一个确定的导数 f(x0)这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数 f(x)的导函数 f(x)在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数2 曲线 yf(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线是

5、指 P 为切点，切线斜率为 kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(2)曲线 yf(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条1 f(x)是函数 f(x) x32x1 的导函数，则 f(1)的值为_13答案 3解析 f(x)x22，f(1)(1)223.2. 如图，函数 yf(x)的图像在点 P 处的切线方程是 yx8，则f(5)f(5)_.答案 2解析 如图可知，f(5)3，f(5)1，因此 f(5)f(5)2.3已知 f(x)x23xf(2)，则 f(2)_.答案 2解析 由题意得 f(x)2x3f(2)，f(2)223

6、f(2)，f(2)2.4 已知点 P 在曲线 f(x)x4x 上，曲线在点 P 处的切线平行于 3xy0，则点 P 的坐标为_答案 (1,0)解析 由题意知，函数 f(x)x4x 在点 P 处的切线的斜率等于 3，即 f(x0)4x 13，x01，将其代入 f(x)中3 0可得 P(1,0)5 曲线 f(x)在点(1，1)处的切线方程为_xx2答案 y2x1解析 易知点(1，1)在曲线上，且 f(x)，切线斜率 f(1) 2.x2xx222x2221由点斜式得切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.题型一 利用定义求函数的导数例 1 利用导数的定义求函数 f(x)x3在 xx0处的导数，并求

7、曲线 f(x)x3在 xx0处的切线与曲线 f(x)x3的交点思维启迪：正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键解 f(x0) limxx0fxfx0xx0limxx0x3x3 0xx0 (x2xx0x )3x .limxx02 02 0曲线 f(x)x3在 xx0处的切线方程为yx 3x (xx0)，3 02 0即 y3x x2x ，由Error!Error!2 03 0得(xx0)2(x2x0)0，解得 xx0，x2x0.若 x00，则交点坐标为(x0，x )，(2x0，8x )；若 x00，则交点坐标为(0,0)3 03 0探究提高 求函数 f(x)的导数步骤：(1)求函数值的

8、增量 ff(x2)f(x1)；(2)计算平均变化率；fxf x2 f x1 x2x1(3)计算导数 f(x) .limx0fx利用导数的定义，求：(1)f(x)在 x1 处的导数；1x(2)f(x)的导数1x2解 (1)yxf1xf1x11x1x1 1xx 1x11xx 1x1 1x，xx 1x1x11x1xf(1) .limx0yxlimx011x1x12(2)yxfxxfxx1x2x1x2xx2x2xxx2x2x，1x2x2xf(x) limx0yx .limx01x2x2x1x22题型二 导数的运算例 2 求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(x21x1x3)(3)ysi

9、n2；(2x3)(4)yln(2x5)思维启迪：求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导解 (1)y(exln x)exln xex1xex(ln x )1x(2)yx31，y3x2.1x22x3(3)设 yu2，usin v，v2x ，3则 yxyuuvvx2ucos v24sincos2sin.(2x3)(2x3)(4x23)(4)设 yln u，u2x5，则 yxyuux，因此 y(2x5).12x522x5探究提高 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的

10、商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导求下列各函数的导数：(1)y；11 x11 x(2)y；cos 2xsin xcos x(3)y(1sin x)2；(4)yln.x21解 (1)y，11 x11 x21xy.(21x)21x1x221x2(2)ycos xsin x，cos 2xsin xcos xysin xcos x.(3)设 u1sin x，则 y(1sin x)2，由 yu2与 u1sin x 复合而成因此 yf(u)u2

11、ucos x2cos x(1sin x)(4)y(ln)()x211x21x21 (x21) (x21).1x211212xx21题型三 导数的几何意义例 3 已知曲线 yf(x) x3 .1343(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为 1 的曲线的切线方程思维启迪：求曲线的切线方程，方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程解 (1)P(2,4)在曲线 yf(x) x3 上，且 f(x)x2，在点 P(2,4)处的切线的斜率为 f(2)4.1343曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40

12、.(2)设曲线 yf(x) x3 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A，则切线的斜率为 f(x0)x .1343(x0，13x3 043)2 0切线方程为 yx (xx0)，(13x3 043)2 0即 yx x x .2 023 3 043点 P(2,4)在切线上，42x x ，2 023 3 043即 x 3x 40，x x 4x 40，3 02 03 02 02 0x (x01)4(x01)(x01)0，2 0(x01)(x02)20，解得 x01 或 x02，故所求的切线方程为 xy20 或 4xy40.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为 x 1，x01.2 0切点为(1,

13、1)或，(1，53)切线方程为 y1x1 或 y x1，53即 xy20 或 3x3y20.探究提高 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标(2)切点既在曲线上，又在切线上切线有可能和曲线还有其它的公共点已知抛物线 yf(x)ax2bxc 通过点 P(1，1)，且在点 Q(2，1)处与直线 yx3 相切，求实数 a、b、c 的值解 f(x)2axb，抛物线在点 Q(2，1)处的切线斜率为 kf(2)4ab.4ab1.又点 P(1,1)、Q(2，1)在抛物线上，abc1，4a2bc1.联立解方程组，得Error!Error!实数 a、b、c 的值分别为 3、11、9.一审条件挖隐含典例：(12 分)设函数 yx22x2 的图像为 C1，函数 yx2axb 的图像为 C2，已知过 C1与 C2的一个交点的两切线互相垂直(1)求 a，b 之间的关系；(2)求 ab 的最大值C1与 C2有交点(可设 C1与 C2的交点为(x0，y0)过交点的两切线互相垂直(切线垂直隐含着斜率间的关系)两切线的斜率互为负倒数导数的几何意义利用导数求两切线的斜率：k1