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1、（2011 高考备战冲刺指导）难点高考备战冲刺指导）难点 9 指数函数、对数函数问题指数函数、对数函数问题指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的 概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题. 难点磁场()设 f(x)=log2,F(x)=+f(x). xx 11 x21(1)试判断函数 f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若 f(x)的反函数为 f1(x),证明：对任意的自然数 n(n3),都有 f1(n);1nn(3)若 F(x)的反函数 F1(x),证明：方程 F1(x)=0 有惟一解. 案例探究 例 1已知过原点 O 的一条直
2、线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明：点 C、D 和原点 O 在同一条直线上； (2)当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标. 命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础 知识，考查学生的分析能力和运算能力.属级题目. 知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD. (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得 A 点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三
3、点共线；第二问运用方程思想去求得 点 A 的坐标. (1)证明：设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题意知：x11,x21,则 A、B 纵坐标分别为 log8x1,log8x2.因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以,点 C、D 坐标分别为228118loglog xx xx(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于 log2x1=3log8x2,所以 OC 的斜2loglog818x2logloglog,log3828 2218xxx率：k1=,118212log3log xx xxOD 的斜率：k2=，由此可知：k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上.228222l
4、og3log xx xx(2)解：由 BC 平行于 x 轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1=log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x231得：x13log8x1=3x1log8x1,由于 x11 知 log8x10,x13=3x1.又 x11,x1=,则点 A 的坐标为(3，log8).33例 2在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),对每个自然数 n 点 Pn位于函数 y=2000()x(0bn+1bn+2.则以10abn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1bn,即()2+()1
5、0,解得10a 10aa5(1).5(1)0 且 a1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点 时，点 Q(x2a,y)是函数 y=g(x)图象上的点. (1)写出函数 y=g(x)的解析式； (2)若当 xa+2,a+3时，恒有|f(x)g(x)|1,试确定 a 的取值范围.6.()已知函数 f(x)=logax(a0 且 a1),(x(0,+),若 x1,x2(0,+),判断f(x1)+f(x2)与 f()的大小，并加以证明.21 221xx 7.()已知函数 x,y 满足 x1,y1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a0 且 a1),求 l
6、oga(xy)的取值范围.8.()设不等式 2(logx)2+9(logx)+90 的解集为 M，求当 xM 时函数 f(x)21 21=(log2)(log2)的最大、最小值. 2x 8x参考答案 难点磁场解：(1)由0,且 2x0 得 F(x)的定义域为(1，1)，设1x1x21,则xx 11F(x2)F(x1)=()+()1221 21 xx11 2 22 211log11logxx xx ,)1)(1 ()1)(1 (log)2)(2(2121 2 2112 xxxx xxxx x2x10,2x10,2x20,上式第 2 项中对数的真数大于 1. 因此 F(x2)F(x1)0,F(x2
7、)F(x1),F(x)在(1，1）上是增函数.(2)证明：由 y=f(x)=得：2y=,xx 11log21212,11 yy xxxf1(x)=,f(x)的值域为 R，f-1(x)的定义域为 R.1212 xx当 n3 时，f-1(n).122111122111212 1nnnn nnn nnn用数学归纳法易证 2n2n+1(n3),证略.(3)证明：F(0)=,F1()=0,x=是 F1(x)=0 的一个根.假设 F1(x)=0 还有一个21 21 21解 x0(x0),则 F-1(x0)=0,于是 F(0)=x0(x0).这是不可能的，故 F-1(x)=0 有惟一解.21 21歼灭难点训
8、练 一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1) 又 g(x)+h(x)=lg(10x+1).即g(x)+h(x)=lg(10x+1)由得：g(x)=,h(x)=lg(10x+1).2x 2x答案：C 2.解析：当 a1 时，函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选，又 a1 时，y=(1a)x 为 减函数. 答案：B二、3.解析：容易求得 f- 1(x)=,从而： ) 1( 2) 1( log2xxxxf1(x1)= ).2( ,2)2(),1(log12 xxxx答案： )2( ,2)2(),1(log12 xxxx4.解析：由题意，5 分钟后，y1=aent,
9、y2=aaent,y1=y2.n=ln2.设再过 t 分钟桶 1 中51的水只有,则 y1=aen(5+t)=,解得 t=10.8a 8a答案：10 三、5.解：(1)设点 Q 的坐标为(x,y),则 x=x2a,y=y.即 x=x+2a,y=y. 点 P(x,y)在函数 y=loga(x3a)的图象上，y=loga(x+2a3a),即 y=loga,g(x)=loga. ax 21 ax 1(2)由题意得 x3a=(a+2)3a=2a+20;=0,又 a0 且ax 1 aa )3(1a1,0a1,|f(x)g(x)|=|loga(x3a)loga|=|loga(x24ax+3a2)|f(x)
10、g(x)ax 1|1,1loga(x24ax+3a2)1,0a1,a+22a.f(x)=x24ax+3a2在a+2,a+3上为 减函数，(x)=loga(x24ax+3a2)在a+2,a+3上为减函数，从而(x)max=(a+2) =loga(44a),(x)min=(a+3)=loga(96a),于是所求问题转化为求不等式组的解. 1)44(log1)69(log10aaaaa由 loga(96a)1 解得 0a,由 loga(44a)1 解得 0a,12579 54所求 a 的取值范围是 0a.12579 6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,x1,
11、x2(0,+),x1x2()2(当且仅当 x1=x2时取“=”号)，221xx 当 a1 时，有 logax1x2loga()2,221xx logax1x2loga()，(logax1+logax2)loga,21 221xx 21 221xx 即f(x1)+f(x2)f()(当且仅当 x1=x2时取“=”号)21221xx 当 0a1 时，有 logax1x2loga()2,221xx (logax1+logax2)loga,即f(x1)+f(x2)f()(当且仅当 x1=x2时取21 221xx 21 221xx “=”号）. 7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2l
12、ogax)+(1+2logay),即(logax1)2+(logay1)2=4, 令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u1)2+(v1)2=4(uv0),k=u+v.在直角坐标系 uOv 内，圆弧 (u1)2+(v1)2=4(uv0)与平行直线系 v=u+k 有公共点，分两类讨论.(1)当 u0,v0 时，即 a1 时，结合判别式法与代点法得 1+k2(1+);32(2)当 u0,v0,即 0a1 时，同理得到 2(1)k1.x 综上，当 a1 时，23logaxy 的最大值为 2+2，最小值为 1+；当 0a1 时，logaxy 的最大值为 1，233最小值为 22.28.解：2(x)2+9(x)+9021log21log(2x+3)( x+3)0.21log21log3x.21log23即 ()3x()21log2121log21log2123()x()3,2x82123212即 M=x|x2,82又 f(x)=(log2x1)(log2x3)=log22x4log2x+3=(log2x2)21.2x8,log2x3223当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=1;当 log2x=3,即 x=8 时，ymax=0.
