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1、- 1 -一元二次方程单元知识复习与总结一元二次方程单元知识复习与总结一、引例一、引例瑞士的列昂纳德欧拉（17071783） ，既是一位伟大的数学家，也是一位教子有方的父亲，他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考。如下题：“父亲临终时立下遗嘱，要按下列方式分配遗产：老大分得 100 克朗和剩下的； 老二分得 200 克朗和剩下的；老三分得 300 克朗和剩下的；1 101 101 10；以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等；遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？”这道题需要列方程求解。解析解析 设孩子数为 x 人，则最后一个孩子分得遗产为 100
2、x 克朗,老大分得遗产100+ (100x2-100)1 10克朗，得方程 100+ (100x2-100)=100x.1 10同学们，你会解此方程吗？整理方程得 x2-10x+9=0.(x-9)(x-1)=0,x1=9,x2=1(舍去).遗产总数是 8100 克朗；有个孩子，每个孩子分得的遗产是 900 克朗。点评：点评：二、一元二次方程的解法二、一元二次方程的解法运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等来分解因式。例例：用适当的方法解下列一元二次方程:(1)(2x-
3、1)2-9=0; (2)x2+x-1=0; (3)x2-4x=1; (4)3x2-16x+5=0;(5)(3x+2)2=4(x-3)2; (6)(y-1)2=2y(1-y); (7)3a2x2-abx-2b2=0(a0) (8)x2+2mx=(n+m)(n-m).3解析 (1)两边开平方，得 2x-1=3 或 2x-1=-3, x1=2,x2=-1;(2)已知：a=1,b=1,c=-1. x1=,x2=;15 2 15 2 (3)整理原方程，得 x2-4x-1=0, (x-2)2=5. x1=2+, x2=2-. .55(4)原方程可化为(3x-1)(x-5)=0, x1=,x2=5;1 3-
4、 2 -(5)两边开平方,得 3x+2=2(x-3)或 3x+2=-2(x-3), x1=-8, x2=.4 5(6)原方程可化为(y-1)(3y-1)=0, y1=1, y2=. .1 3(7)原方程可化为(ax+b)(ax-b)=0, x1=,x2=. .333 3b a2 3 3b a(8)原方程可化为(x+n+m)(x+m-n)=0, x1=-n-m, x2=n-m.点评点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的解法，使运算达到最简便。(1)由原方程得(2x-1)2=9,显然适合用直接开平方法，当然也可用因式分解法；(2)由不是完全平方数，不适合用因式分解法， 因一次项系数不是偶数，也不适
5、用配方法，本题适用公式法；(3)因二次项系数为，一次项系数为偶数故本题适用配方法；(4)本题适用因式分解法（记住符号的选择） ；(5)本题可用因式分解法，也可用直接开平方法；(6)把(y-1)看作一个整体，用因式分解法比较合适；(7)注意到 3=()2 ,即可用因式分解法；3(8)因二次项系数为，一次项系数为的倍数，故适用配方法； 因字母系数较简单，也可用因式分解法。例例：解方程 x4+(x-4)4=626.解析 设=y 即 y=x-2,则原方程可化为(y+2)4+(y-2)4=626,4 2xx化简,得 y4+24y2- 297=0,则(y2-9)(y2+33)=0, y2-9=0.则 y1
6、=3,y2=-3,x1=5,x2=-1.点评点评: :此方程是一个高次方程,若展开(x-4)4 不但解决不了问题,还使方程变得更无规律可循了,故此处可用“平均值换元法”.例例 3 3：解方程 2x4+3x3-16x2+3x+2=0.解析 观察原方程可知 x0,所以方程两边可同除以 x2,得 2x2+3x-16+=0,232 xx 2(x2+)+3(x+)-16=021 x1 x配方,得 2(x+)2+3(x+)-20=01 x1 x- 3 -设 x+=y,则 2y2+3y-20=0,1 x(2y-5)(y+4)=0.y1=,y2=-4.5 2由 x+=1 x5 2解得 x1=2,x2=;1 2
7、由 x+=-4,1 x解得 x3=- -2+,x4=-2-.33原方程的解为 x1=2,x2=, , x3=- -2+,x4=-2-.1 233点评点评: :若对于一个方程(未知数为 x),以代替 x 方程不变,则称为倒数方程,本题即是倒数方程,其系数特点1 x是:与首末两项等距离的两项系数相等且 x0,由此,可在方程两边同除以 x2,然后配方成关于(x+)的一1 x元二次方程,再利用换元法来解.例例 4 4：九年义务教育三年制初级中学教科书代数第三册第 52 页的例 2 是:解方程 x4-6x2+5=0.这是一个一元四次方程,根据该方程的特点, 它的通常解法是:设 x2=y,那么 x4=y2
8、,于是原方程可变为 y2-6y+5=0. 解这个方程,得 y1=1,y2=5.当 y=1 时,x2=1,x=1;当 y=5 时,x2=5,x=.5故原方程有四个根.x1=1,x2=-1,x3=,x4=-。55(1)填空:在由原方程得到方程的过程中,利用_法达到降次的目的,体现了_的数学思想;(2)解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0.解析 (1)换元,转化;(2)设 x2-x=y,原方程变为y2-4y-12=0,y1=6,y2=-2.当 y=6 时,x2-x-6=0,解得 x1=3,x2=-2;当 y=-2 时,x2-x+2=0,0.方程总有 2 个不同的实数根,按题设原方程只有 1
9、 个解,因此必有一根是原方程的增根,从原方程知道,增根只可能是使 x2-x=0 即 x=0 或 x=1.显然,0 不是的根,故 x=1 是方程的根,代入得 k=, 由根与系数的关系得原方程的根为-= =-2,1 21 k当 k=0 时,方程的解为 x=2;当 k= 时,方程的解为 x=-2.1 2点评点评: :本题首先想到化为整式方程,这个整式方程是含参系数的二次方程形式,应讨论,将分式方程化为整式方程时,常会出现增根,本题考点就在于此.- 5 -例例 7 7：设关于 x 的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2- 6k-4)x+k2=4 的两根都是整数,求满足条件的所有实数 k 的值.解析
10、 原方程可化为(k-4)(k-2)x2+(2k2-6k-4)x+(k-2)(k+2)=0,(k-4)x+(k-2)(k-2)x+(k+2)=0.(k-4)(k-2)0x1=-=-1-,2 4k k 2 4k x2=. .24122k kk k-4=,k-2=,12 1x22 1x12(1,1)xx 消去 k,得 x1x2+3x1+2=0. x1(x2+3)=-2.由于 x1,x2都是整数.; ; ; ;12231xx 12132xx 12231xx 即;.1222xx 1215xx 1224xx k=6,3,. .10 3经检验,k=6,3, 满足题意.10 3点评点评本题方程整理成关于 x
11、的一元二次方程的一般形式后,二次项系数不为 0 是隐含的条件,应考虑.将参数 k 用方程两根表示并最终消去参数 k 是解题的关键.- 6 -练习卷练习卷1.解方程 169x2-39x-2=0.2.解关于 x 的方程 3x2-2(a+2b)x+b2-a2=0.3.解方程(x+2)4+(x-4)4=272.4.解方程 2x4+3x3-x2+3x+2=0.6.解方程 .213134211xxxxxx7.当方程(m2+1)x2-(m+1)x-3=0 的一个根为 x=-1,则 m 的值为多少?- 7 -8.当时,求的值.1110ababba ab9.已知 a 是方程 x2+x-=0 的根,求的根.1 4
12、331a aa 10.已知方程(x-19)(x-97)=p 有实根 r1和 r2,试求方程(x-r1)(x-r2)=-p 的最小实根.11.已知两个二次方程 x2+ax+b=0,x2+cx+d=0 有一个公共根 1,求证:二次方程 x2+=0 也有一22acbdx个根为 1.12.x表示不超过实数 x 的最大整数,令x=x-x.(1)找出一个实数 x,使x+=1;1 x (2)证明:满足上述等式的 x 都不是有理数.13.已知方程组 123199812319981234199812199719981111x x xxxx xxx xx xxx xxx LLLL LL- 8 -求.1990xA
13、A 卷答案卷答案: :1.x1=,x2=. .317 26317 262.x1=,x2=a+b.3ba提示:原方程可变形为 3x2-4bx+b2=2ax+a2,(2x-b)2=(x+a)22x-b=(x+a),即有 x1=,x2=a+b.3ba3.m=15 2 4. 5提示:去分母整理得 a2+ab-b2=0, 2 10aa bb 求得15 2a b 当 时, ; ;15 2a b 5ab ba当 时, . .15 2a b 5ab ba 5.5 由已知 a2+a=,则1 43223111(1)(1)1451(1)(1)(1) 4aaaaaa aaa aaa a6.19r1、r2是一元二次方程
14、(x-19)(x-97)=p 的两个根,(x-19)(x-97)-p=(x-r1)(x-r2)=0,则(x-r1)(x-r2)+p=(x-19)(x-97)可见,19、97 为方程(x-r1)(x-r2)+p=0 的两根,19 为所求.B B 卷答案卷答案: :1.略2.0,2- 9 -提示:令 =x-1=y,原方程变为(y+3)4+(y-3)4=272,即得 y=1.(2)(4) 2xx故 x1=0,x2=2.3.方程两边除以 x2得 2(x2+)+3(+x)-1=021 x21 x令 x+=y,则有 2y2+3y-5=0,y1=,y2=1.1 x5 2求得 x1=-2,x2=. .1 24
15、.(1)设 x=m+a,m 为整数,0a1,=n+b,n 为整数,0b1,则 a+b=1,从而 x+ =(m+a)+(n+b)=m+n+1,即1 x1 x满足(1)的 x 必使 x+为整数;反之,若 x+为整数,则 a+b=1,即(1)成立.令 x+=k,(k 为整数)则 x2-1 x1 x1 xkx+1=0,故 x=, , 当k=2 时,x= k=1,不合题意.21(4)2kk1 2当k3 时,x=是满足题设条件的全体实数,如取 k=3,则 x= . .21(4)2kk1(35)2(2)下面证明形如的数不是有理数,这只需证 k2-4 不是完全平方数,设 k2-4=s2,其中 s 为正整数,则(k+s)(k-s)=4,而 k+s 与 k-s 的奇偶性相同,又它们的积为偶数, 故有 或. .2 2ks ks 2 2ks ks 解得 k=2,s=0,与k3 矛盾.故 k2-4 不是完全平方数.5.设 x1=y1,x1x2=y2,x1
