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1、数学（文）试题参考答案及评分标准 第 1 页（共 6 页）2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学（文科）参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. C 2. B3. A 4. A5. B6. B 7. C8. A9. D10. D11. B12. C 简答与提示：1.C 可得，由可知，则220xx12xln(1)yx10x1x 为，故选 C.ABI 1,1)2.B 由可得，又在第四象限，则，2(1)(1)15aiaia 2a 1i a2a 故选 B. 3.A 由于要取，中最大项，输出的应当是，中的最大者，所以应abcxabc 填比较与大
2、小的语句，故选 A.xccx 4.A 该几何体由底半径为 1 的半圆锥与底面为边长等于 2 正方形的四棱锥组成，且高都为，因此该几何体体积为 3，故选 A.28311134 313223323636V5.B 由题意中，由余弦定理可知，ABC60A2AB 4AC 2 3BC 故选 B.6.B 由于，所以根据指数函数性质，即；又，1x 21 321xx1ba14x所以，所以，即，所以，故选 B.12x0ln1x1c bac7.C 由与可得，33 12314a a aa q312 456112a a aa q93q ，因此，所以，故选 C.333 111324n nnnaaaaq 36436813n
3、qq14n 8.A 当时，三点为矩形的三个顶点，可知，| |OAOBABuu u ruuu ruuu rOABOAOB由图可知直线过点，此时，故选 A.(2,0)2k 9.D 与3cos(2)cos(2)cos(2)44224yxxxsin(2)4x关于原点对称，故选 D.sin 24yx10. D ，当且仅当，即2142(2 )228yxxyxyxyxy4yx xy时等号成立. 由恒成立，则，224yx222xymm228mm，解得，故选 D.2280mm42m 11. B 由题可知，双曲线离心率，| |ABeDBDA设则，| |ADBCt| 2ABt|22 cos60CDttto数学（文）
4、试题参考答案及评分标准 第 2 页（共 6 页），所以，故选 B.|54cos603BDtto|231|3ABteDBDAtt12. C 由题意， 当时，将的图像0x 3( )logf xx关于原点对称后可知 的3( )log ()g xx (0)x 图像与时存在两个交点，故0x 2( )4f xxx “友好点对”的数量为 2，故选 C. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 5 14. 15. 16. 12072 32 简答与提示： 13. 由题可知可行域为如图所示阴影部分，由目标函数为可知，当直线过点时，取得最大值，1 22zyx (1,2)2z即取得最大值
5、，为.zmax12 25z 14. 由正弦定理可将转化为(2)coscos0acBbC，经计算2sincossincossincos0ABCBBC 得，2sincossin()0ABBC2sincossin0ABA又为内角，可知，则，则.AABCsin0A 1cos2B 2 3B15. 设正方体棱长为，则正方体表面积为，其外接球半径为正方体体对角线a2 16Sa长的，即为，因此外接球表面积为，则1 23 2a22 243Sra.2 1 2 262 3Sa Sa16. 由可知是以 5 为周期的周期函数，又在( )(5)0f xf x( )f x2( )2xf xx区间内有 3 个零点，故在任意周
6、期上都有 3 个零点，故( 1,4x ( )f x上包含 402 个周期，又时也存在一个零点，故零点数(3,2013x0,3x2x 为.3 402 11207 三、解答题（本大题必做题 5 小题，三选一中任选 1 小题，共 70 分） 17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图像与性质的运用， 以及三角函数的值域的有关知识.【试题解析】解：(1)由图像得，所以，则；1A 2 4362T2T1将代入得，而，所以，因此函数(,1)61sin()6223xO11xyO数学（文）试题参考答案及评分标准 第 3 页（共 6 页）( )sin()3f xx
7、；(6 分)(2) 由于，2 336x，所以11sin()32x，所以( )f x的,6x 取值范围是1 1,2.( 12 分)18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式，其中还包括 对数的运算与裂项求和的应用技巧.【试题解析】解：(1)设等比数列的公比为，由题意，所以q12 3a 22112Sa，即，221 21332 3qq1 3q 因此.(6 分)11 1212( )333nn nnaa q(2) ，2 2 33loglog 324nn nabn 所以，211111 11()22(2)4(2)82nnbbnnn nnn 1 111111
8、111111()(1)8 13241128212nTnnnnnnL.(12 分)1 311()8 212nn 19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识.同时题目 指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层 设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推 理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) ，且为中点，Q112AAACACOAC1AOAC，又Q侧面11AAC C 底面ABC，交线为，11AOA AC面，AC1AO 平面ABC.(6 分)(2) ，因此，即，又在 11 1
9、 11111 124E BCCABC A B CABCCVVV11 4BEBA113 4AEAB中，可得，则的长度为1Rt AOB1AOOB13AO 1BO 12AB 1AE.3 2 (12 分) 20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线及椭圆的标准方程，考查直线和椭圆的综合应用， 考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.数学（文）试题参考答案及评分标准 第 4 页（共 6 页）【试题解析】解：设右焦点为( ,0)c，则62 32c| ，62 6c ， 6c 或3 6c (舍去)(2 分)又离心率3 2c a ，63 2a ，2 2a ，222bac ，故椭圆方程为22
10、182xy . (4 分) 设),(11yxA，0(,0)N x，因为7 5NANB uuu ruuu r，所以22(,)B xy，127 5yy (6 分)1012027(,) =(,)5xxyxxy易知当直线l的斜率不存在或斜率为 0 时，不成立，于是设l的方程为10ykxk() ，联立消得22148ykxxy x(8 分)222(41)21 80kyyk 因为，所以直线与椭圆相交，0 于是，1222 41yyk 21221 8 41ky yk由得，代入整理得42890kk ，225 41yk 127 41yk 21k ，所以直线 的方程是或.(12 分)l1yx1yx 21. (本小题满
11、分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的几何意义，用 导数来研究函数的单调性、极值等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：由题意得：22( )() (22)(22)xxfxeaxxeaxx；(3 分)22(22)(22)()(2)xxxe axxeaxaexxa(1)由曲线在点处的切线垂直于轴，结合导数的几何意义得( )yf x(2,(2)Pfy，即，解得；(6 分)(2)0f 22(2)(22)a ea22240aaea1a (2) 设，则只需求当时，函数的最小|sin|(01)xtt0a ( )(01)yf tt 值.令，解得或，而，即.( )0
12、fx2xa2x 0a 22a 数学（文）试题参考答案及评分标准 第 5 页（共 6 页）从而函数在和上单调递增，在上单调递减. ( )f x(, 2) 2(,)a2( 2,)a当时，即时，函数在上为减函数，21a02a( )f x0,1；min(1)(4)yfae当，即 时，函数的极小值即为其在区间上的最小值， 201a2a ( )f x0,1. 2min2( )2ayfea 综上可知，当时，函数的最小值为；当时，函02a(|sin|)fx(4)ae2a 数的最小值为.(12 分)(|sin|)fx2 2ae 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1：几何证明选讲 【命题意图】本小题主要
13、考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的 性质等知识. 【试题解析】证明(1)：已知 AD 为M 的直径，连接，则，ABBAEBCE，由点 G 为弧 BD 的中点可知，o90ABCCEFFCEBAEGAD故，所以有，即.(5 分)CEFAGDGDEF AGCEGDCEEFAG (2)由(1)知，故，所以ADGCFEDFGAGDDGF，即 (10 分)CEEF AGDG DGGF.22CEEF AGGF 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方 程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转
14、化，以及圆内几何图形的性质等.【试题解析】解：(1)对于：由，得，进而C4cos24 cos；224xyx对于 ：由（ 为参数） ，得，即.(5l352 1 2xtyt t1(5)3yx350xy分) (2)由(1)可知为圆，且圆心为，半径为 2，则弦心距C(2,0)，弦长，因此以为边的圆|2305|3 21 3d 223| 2 2( )72PQ PQ的内接矩形面积. (10 分)C2| 3 7SdPQ数学（文）试题参考答案及评分标准 第 6 页（共 6 页）24. (本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法 及性质等内容.【试题解析】解：(1) 当时，由5a( )|1|2| 5f xxx得或或，解得|1|2| 50xx1220xx 21 20x
