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1、 1 / 10上的上的 FourierFourier 变换与变换与上的上的 FourierFourier 变换变换R1Rn摘要：本文分别给出了一维和 n 维的 Fourier 变换的定义，并较系统的给出了 Fourier 变换分别在一维和 n 维的性质。并讨论了 Fourier 变换在一维和 n 维 中的区别和联系。关键词：上的 Fourier 变换 上的 Fourier 变换R1Rn一、 引言在数学中常用变换的方法来简化问题或运算，如在线性代数中的坐标变换； 在积分中的变量代换使积分运算化简；在复变函数论中的保角变换，可使复杂 的区域变换为较简单的区域，使某些问题容易解决。由此可见，变换的思
2、想是 数学中简化问题的常用方法。其中，积分变换的理论和方法是简化问题的一种 重要而有效的数学方法，它不仅应用于许多数学分支，而且在物理与工程技术 上都有广泛的应用，特别在自动控制和电信技术上，积分变换是分析问题的重 要而有效的手段。积分变换就是通过积分的方法，把一个函数变换为另一个函数。最常用的 积分变换有傅里叶(Fourier)变换与拉普拉斯(laplace)变换。本文着重讨论了 傅里叶变换分别在一维和 n 维的定义和性质，以及它们之间的区别与联系。二、 正文2.1 上的 Fourier 变换的定义R1对定义在区间上的实自变量 t 的函数 f(t)，乘以，然后对( , + ) t 由到积分。
3、若此广义积分收敛，则此积分确定了一个实变数 的复值 + 函数 F( )，即 () = + () （2.1.1）这样，式（2.1.1）中的积分给出了函数 f(t)与另一个函数的对应规律，()这种对应规律叫积分变换。这里的积分变换，称作 Fourier 变换，用记号表示。即 。()() = () = + () 函数称为函数 f(t)的像函数，或称为函数 f(t)的傅里叶变换的结果，()也简称为 f(t)的傅里叶变换。反之，我们称 f(t)为的像原函数或傅里叶逆()变换。的逆变换用记号表示，所以由（2.1.1）式有() 1()2 / 10() = 1() =1 2+ ()（2.1.2）对于定义在上的
4、单侧函数 f(t)，可以把 f(t)延拓为上0, + )( , + )的偶函数或奇函数，从而使其满足傅里叶积分定理的条件，则有以下结论：当 f(t)延拓为上的偶函数时，有( , + )() = () = 2+ 0()（2.1.3）称为 Fourier 余弦变换。其相应的逆变换为() =1+ 0()（2.1.4）当 f(t)延拓为上的奇函数时，有( , + )() = () = 2+ 0()（2.1.5）称为 Fourier 正弦变换。其相应的逆变换为() =1+ 0()（2.1.6）特别地，当函数 f(t)为定义在上的偶函数时，其对应的( , + )Fourier 变换为() = () （2.
5、1.7）当 f(t)为定义在上的奇函数时，其对应的 Fourier 变换为( , + )() = () （2.1.8）2.2 上的 Fourier 变换的性质R12.2.1 线性性质设与为任意的两个函数，a、b 为任意常数，则1()2()1() + 2()= 1() + 2() （2.2.1）2.2.2 对称性若，则作为 t 的函数 F(t)的像函数为，即f(t) = ()2( )3 / 10() = 2( ) （2.2.2）2.2.3 相似性设，则() = ()， 0（2.2.3）() =1|()特别，取 b=-1，就得翻转公式( ) = ( ) （2.2.4）2.2.4 位移性质1、平移后
6、的像函数设为实常数，则() = ()，0( 0)= 0()（2.2.5）2、像函数的平移设为实常数，则() = ()，()= ( ) （2.2.6）2.2.5 微分性质1、导数的像函数设 f 连续且在上分段光滑,，则当 f 和 为绝对可( , + )lim |() = 0 积时，有()= () （2.2.7）如果 f 和它的前 n-1 阶导数连续，第 n 阶导数分段连续，f 及其直到 n 阶 导数都绝对可积，并且当时 f 和它的前 n-1 阶导数都趋于零，则|n=0,1,2, ()()= ()() （2.2.8）2、像函数的导数设，则() = ()4 / 10 () = () （2.2.9）一
7、般地有 n=0,1,2, () = ( )() （2.2.10）2.2.6 积分性质若 t 的函数满足傅里叶积分定理的条件，则 () ()=1() （2.2.11）2.2.7 卷积与卷积定理含参变量 t 的积分是 t 的函数，称作函数与+ 1()2( )1()的卷积函数，简称卷积，记作，即2()1() 2()1() 2() = + 1()2( ) （2.2.12）容易验证卷积满足交换律、结合律和对加法的分配率，即（1）1 2= 2 1（2）(1 2) 3= 1 (2 3)（3）1 (2+ 3) = 1 2+ 1 3卷积定理 两个函数卷积的像函数，等于两个函数各自像函数的乘积，即1() 2()
8、= 1()2() （2.2.13）频谱卷积定理 两函数乘积的像函数，等于它们像函数卷积的倍，即1 21()2() =1 21() 2()（2.2.14）不难把卷积定理推广到 n 重卷积的情况：1() 2() () = 1()2()() （2.2.15）5 / 10（2.2.16）1()2()() =1(2) 11() 2() ()2卷积定理提供了卷积计算的简便方法：化卷积计算为乘积运算。2.2.8 巴塞弗（Persevel）恒等式设，则() = ()() = ()+ ()() = 2+ ()() （2.2.17）式中横线是共轭复数的记号。3特别地，当时，有() = ()+ |()|2 = 2+
9、 |()|2（2.2.18）2.3 上的 Fourier 变换的定义R若要用傅里叶变换去解多维问题，首先必须将傅里叶变换的概念推广到多 元函数去。n 元函数的傅里叶变换定义如下：f(1,2,)(1,2,)= f(1,2,)=+ + + 共次f(1,2,) （11+ 22+ + ） 12 （2.3.1）此处假定 f 在 n 维空间上连续可导并绝对可积。傅里叶逆变换公式为f(1,2,)=1(2)+ + + 共次(1,2,) （11+ 22+ + ） 12 （2.3.2）42.4 上的 Fourier 变换的性质R上 Fourier 变换的性质与上 Fourier 变换的性质类似。为表示方便 nRn
10、R1维函数简记为 f。(1,2,)2.4.1 线性性质6 / 10设与为任意的两个 n 维函数，下面简记为和1(1,2,)2(1,2,)1，a、b 为任意常数，则21+ 2= 1 + 2 （2.4.1）2.4.2 对称性若 f的像函数是，则(1,2,)(1,2,)(1,2,)= (2)( 1, 2, ) （2.4.2）证明：由f(1,2,)=1(2)+ + + 共次(1,2,) （11+ 22+ + ） 12得f( 1, 2, )=1(2)+ + + 共次(1,2,) （11+ 22+ + ） 12将与（k=1,2,n）互换得f( 1, 2, )=1(2)+ + + 共次(1,2,) （11+ 22+ + ） 12即 (1,2,)= (2)( 1, 2, )2.4.3 相似性设，则(1,2,)= (1,2,)， 0（2.4.3）
