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1、第第 3 章章 静定结构位移计算静定结构位移计算3 1 基本概念3-1-1 虚拟单位力状态构造方法虚拟单位力状态构造方法：虚拟单位力状态构造方法： （1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量； （3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。如图 3-1a 刚架求 C 点竖向位移和 C 截面转角CV，图 3-1b 和图 3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单C位力状态。3-1-2 位移计算公式虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力：NQ,RiFM FF实际荷载作用下，引起的内力：NPPQP,FMF位移计算一般公式 NQRiiF duMdFdsF c荷载作用产生位移的计算公式QNQPNP
2、PkF FF FMMdsdsdsEAEIGA1、梁或刚架结构 PMMdsEI2、桁架结构 NNPF FdsEAC1C求C1CV求图 3-1 虚拟单位力状态llqCEIEI)a()b()c(2 结构力学典型例题解析3、混合结构 NNPPF FMMdsdsEAEI支座移动引起位移计算公式RiiF c 温度引起位移计算公式 N0tFt dxMdxh N0Mtt lFAh式中：，h 截面高度0,tt为线膨胀系数形心温度温差MA 虚拟状态弯矩图面积有弹性支座情况的位移计算公式 PRPR0RPRM MFdsFEIk AyFFEIk3-1-3 图乘法图乘法公式：0P( )AyMMdxEIEI 图乘法公式条件
3、： 等截面直杆且EI=常数求 y0图形必须为一条直线 正负号确定： 面积A 与y0同侧取“+”号 注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。 为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直 接代入图乘法公式求得位移。PMMA面积0yCEIyx形心o 图 3-2 图乘法示意图第 3 章 静定结构位移计算 34 结构力学典型例题解析llqEIAB例题 31 图【分析】利用虚力原理计算位移，首先需要构造一个与所求位移对应的虚拟单位力状态，然后计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于荷载作用下刚架的位移计算，仅需计算在弯曲变形上的内力虚功，为此，需要作荷载产生的弯矩图（如图
4、 b 所示） 。构造单位力状态：每求一个位移重新画一个结构，将所求位移矢量（矢量方向任意假定）画在结构相应位置处，标单位力值，即得到与所求位移对应的虚拟单位力状态（分别如图 c、d 所示） 。虚拟单位力状态的内力在实际变形上做虚功，由于刚架仅需要计算弯曲内力虚功，先作虚拟单位力产生的弯矩图（如图 c、d 所示） 。图乘法应用：为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。特别注意：计算面积的图形需要找形心位置，Mp 图 AC 杆面积用梯形减对称抛物线面积，但形心位置不易计算，由于虚拟力状态的 AC 杆弯矩为常数，因此本题 AC 杆不用计算确
5、切形心位置。正负号选择：面积弯矩图与弯矩 y 在相同一侧做正功取正号（若不在同侧时，内力虚功为负，就应取负号） 。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。(a)(b)(c)(d)【例题 3-1】 计算图示结构 B 转角和 D 点竖向位移。CDEIEIABCDABCD111111MllMABCDPM 图312=qlA2ql2ql20.5ql3 2Aql32 33=qlA28ql22=ly1=0y3=yl1=1y3=1y2=1y【解】 求 B 截面转角： EIlq EIyA EIyA EIyAEIAydsEIMM B6133 3322110P（顺时针）求 D 点的竖向位移： 0P
6、4 3311227 6DVAyM MdsEIEI A yA yA yql EIEIEIEIBB求转角DVD求竖向位移第 3 章 静定结构位移计算 5qEIA llB例题 32 图(a)(b)(c)(d)【例题 3-2】分别计算图示结构 A 点、B 点的竖向位移。C2EIABCABC1MPM 图21.5ql12 3=ly34 23=qlA2ql312=qlA28ql【分析】利用虚力原理计算位移，首先需要构造一个与所求位移对应的虚拟单位力状态，然后计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于荷载作用下梁或刚架的位移计算，仅需计算在弯曲变形上的内力虚功，为此，需要作荷载产生的弯矩图（如图 b 所示）
7、。构造单位力状态：A 点、B 点竖向位移所对应的虚拟单位力状态分别如图 d、c 所示。求 B 点竖向位移：图 b 和图 c 作图乘，图 AB 段为常数，MP图 AB 段求面积 A2不M必确定形心位置；图 BC 段为斜直线，MPM图 BC 段求面积 A1，并确定形心位置，求对应的图弯矩 y1。M求 A 点竖向位移：图 BC 段为直线，MPM图 BC 段求面积 A1，并确定形心位置，求对应图弯矩 y1。图 AB 段为直线，MP图 ABMM段的面积分成三块面积如图 e 所示（两个三角形和一个对称抛物线） ，面积分别为A3、A4、A5，形心对应的图弯矩My3、y4、y5。注意：BC杆段抗弯刚度为 2E
8、I，相应分母用 2EI。计算面积的图形，要确定形心位置，对应求弯矩值的弯矩图要是一条直线（当这条直线为常数时，求面积图形不必确定形心位置）【解】 求 B 点的竖向位移： 0P4 11223 22BVAyM MdsEIEI A yA yql EIEIEI求 A 点的竖向位移： 0P4 3355114453 224DVAyM MdsEIEI A yA yA yA yql EIEIEIEIEIll 2=ylAC1M12 3=lyl 2lAB21.5ql2ql 28ql(e)33 34=qlA342=qlA3512=qlA35 3=ly44 3=ly53 2=lyB6 结构力学典型例题解析EI例题 3
9、3 图【分析】构造单位力状态：能够在转角上做功的力是力偶，与 A 截面转角位移对应的单位力状态如图 c 所示。虚拟单位力做外力虚功等于所求位移。虚拟单位力状态的内力在实际变形上做内力虚功，刚架仅需要计算弯曲内力虚功，作虚拟单位力产生的弯矩图（如图 c 所示） 。荷载弯矩图：需要作荷载产生的弯矩图（如图 b 所示） 。图乘法应用：本题两个弯矩图都为直线图形，可以选其中任一个计算面积，另一个求弯矩值，由于 AC 杆直接图乘形心不易计算， 本题对AC、DB 杆件进行一些特殊处理，方法如下：将 DB 杆件弯矩图搬到 AC 上面（如图虚线部分）变成 AF，两个图都是三角形，可以直接图乘，三角形的形心容易
10、确定，这样 AC、DB一次图乘就可以了；CE、ED 两个杆件图乘结果相同，只需计算一个即可。为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出后标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。符号选取：图形在同侧内力虚功为正值，位移与虚拟力方向相同。(a)(b)(c)【例题 3-3】 计算图示结构 A 的转角位移。各杆 EI=常数。MPM 图1=AMl28=M lA12=3y【解】 求 A 截面转角： 0P1122223()3124AAyM MdsEIEI A yA y EIEI MlMlMl顺时针2l2llM ABCDMABCDM0.5M0.5M0.5M1ABCD0.50.50.51EIE
11、IEI21=3yEEEFF第 3 章 静定结构位移计算 7例题 34 图【分析】构造单位力状态：重新画一个结构（如图 c 所示） ，将所求位移矢量画在结构相应位置处 I 点，标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态（如图 c 所示） 。作荷载、单位力轴力图：利用虚力原理计算位移，需要计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于求桁架结构由荷载产生的位移，只计算在轴向变形上的内力虚功，为此，需要作荷载、单位力产生的轴力图（如图 b、c 所示） 。位移计算公式应用：桁架结构位移计算仅有轴力项，轴力要带符号计算（以拉力为正、压力为负） ，对于杆件是等截面同材料，不需要作积分运算，对所有杆件求和即
12、可，要注意使用每个杆件的长度、弹性模量、面积。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。注：桁架内力的计算方法本题桁架上部体系与地基之间只有三个联系，可先求出支座反力，BJ 杆件轴力在 B 处分解成X、Y 方向再对 A 点取矩可以方便求得；其它杆件轴力利用结点法按照 A、C、E、D、F、G、I顺序列投影平衡条件得到。ED、GF 两个杆件为零杆，可先求得。(a)(b)(c)【例题 3-4】 计算图示结构 I 点竖向位移。各杆 EI=常数。NFNPF图ABCD1lllllPFPFFGIJEPFPF2PFP4 3FP2 10 3F1.52PFP4 3FP4 3F00P2 3FP 3F
13、P 3FP2 3F2PFP2 3F000.510 20.51.5 2 20.50.52 22 20.51.50.50.5P4 2 3FP4 3F【解】 NNPNNPPPP102 104(103 ( 0.5)233 24 2( 1.5) ( 2)()223 2222() ()2()22323 210.5( 1.5) ( 2)2 ( 0.5) ()33(10 102 214)3 14.26( )IVFFFFdslEAEA F l EAF l EA F l EA 8 结构力学典型例题解析a例题 35 图【分析】构造单位力状态：每个位移重新画一个结构（如图 b、c 所示） ，将所求位移矢量画在结构相应
14、位置处，标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态。求 A 处角位移的单位力状态如图 b 所示，求 C 点水平位移的单位力状态如图 c 所示。静定结构因支座移动影响只发生刚体位移，不产生变形。虚拟力状态的内力也就不做内力虚功，在此情况下不需要作内力图，虚拟力状态的支座反力在位移状态的支座位移上将做外力虚功；只需要求出对应有支座移动的约束反力即可；支座不发生移动的，对应虚拟力状态的支座反力也不做外力虚功。计算支座反力：图 a 体系的几何组成为三刚片类型结构，也称作三铰刚架。计算反力要用双截面法取两次隔离体，本题只需要 B 支座反力,计算过程为：(1)先取整体 ACDB 隔离体，对 A 点列力
15、矩平衡条件，求出 B 竖向反力；(2)再取一个刚片 EDB 隔离体，对 E 点列力矩平衡条件，求出 B 水平反力。正负号选择：力和位移都是矢量，方向相同作正虚功，相反做负功。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。注意：位移计算公式支反力虚功前面的负号，是公式自带的。本来是内力虚功为零，外力虚功项在公式左端，移到右端加负号。(a)(b)(c)【例题 3-5】 图示结构 B 支座发生沉降,计算 A 的转角位移和 C 点水平位移。M【解】 A 的转角位移：11 21 2(2 )RiiAlllF cabab （位移方向与虚拟单位力相同，顺时针）C 点水平位移：0.510.5RiiCHF cabab （位移方向与虚拟单位力相反，向左）2
