《三角函数公式及图像[2]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数公式及图像[2]（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 锐角三角函数公式锐角三角函数公式sin = 的对边 / 斜边cos = 的邻边 / 斜边tan = 的对边 / 的邻边cot = 的邻边 / 的对边倍角公式倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA2）（注：SinA2 是 sinA 的平方 sin2（A） ）三倍角公式三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)三倍角公式推导三倍角公式推导sin3a=s
2、in(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式辅助角公式Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B降幂公式降幂公式sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)推导公式推导公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21-co
3、s2=2sin21+sin=(sin/2+cos/2)2=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sinacos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa=4cosa-3cosasin3a=3sina-4sina=4sina(3/4-sina)=4sina(3/2)-sina=4sina(sin60-sina)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60- a)/2=4sin
4、asin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cosa-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosacosa-(3/2)=4cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a- 30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan
5、(60-a)tan(60+a)半角公式半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a)/2cos2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)三角和三角和sin(+)=sincoscos+cossincos+coscoss in-sinsinsincos(+)=coscoscos-cossinsin- sincossin-sinsincostan(+)=(tan+tan+tan
6、-tantantan)/(1- tantan-tantan-tantan)两角和差两角和差cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)和差化积和差化积sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2tanA+tanB=sin(A+B)
7、/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差积化和差sinsin = cos(-)-cos(+) /2coscos = cos(+)+cos(-)/2sincos = sin(+)+sin(-)/2cossin = sin(+)-sin(-)/2诱导公式诱导公式sin(-) = -sincos(-) = costan (a)=-tansin(/2-) = coscos(/2-) = sinsin(/2+) = coscos(/2+) = -sinsin(-) = sincos
8、(-) = -cossin(+) = -sincos(+) = -costanA= sinA/cosAtan（/2）cottan（/2）cottan（）tantan（）tan诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sin=2tan(/2）/1+tan(/2)cos=1-tan(/2)/1+tan(/2)tan=2tan(/2)/1-tan(/2)其它公式(1)(sin)2+(cos)2=1(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)2,第二个除(cos)2 即可(4)对于任意
9、非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当 x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）
10、2+(cosB）2+(cosC）2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）2+（sinB）2+（sinC）2=2+2cosAcosBcosC(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2 *(n-1)/n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*( n-1)/n=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角、反三角函数图像六个三角函数值在每个象限的符号：sincsc cossec ta
11、ncot三角函数的图像和性质：1-1y=sinx-3 2-5 2 -7 27 2 5 23 2 2- 2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-3 2-5 2 -7 27 2 5 23 2 2- 2-4-3 -2432-oyxy=tanx32 2-32-2oyxy=cotx32 22-2oyx函数y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx定义域RRxxR 且xk+,kZ2xxR 且xk,kZ值域-1，1x=2k+ 2时 ymax=1x=2k- 时 ymin=-12-1,1 x=2k 时 ymax=1 x=2k+ 时 ymin=-1R无最大值 无最小值R无最大值 无最小值周期性周期为
12、 2周期为 2周期为 周期为 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在2k-,2k+ 2 2上都是增函数；在2k+ ,2k+2 32上都是减函数(kZ)在2k- ，2k上都是 增函数；在 2k，2k+ 上都是减函数(kZ)在(k-，k+2)内都是增函数2(kZ)在(k，k+) 内都是减函数(kZ).反三角函数：arcsinx arccosxarctanx arccotx名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x-,2的反函数，2叫做反正弦函数， 记作 x=arsinyy=cosx(x0, )的反函数， 叫做反余弦函数， 记作 x=arccosyy=tanx(x(- , 2)
13、的反函数，叫2做反正切函数，记 作 x=arctanyy=cotx(x(0,) 的反函数，叫做 反余切函数，记 作 x=arccoty理解arcsinx 表示属于-,2 2且正弦值等于 x 的 角arccosx 表示属 于0， ，且 余弦值等于 x 的 角arctanx 表示属于(-,)，且正切值2 2等于 x 的角arccotx 表示属 于(0，)且余切 值等于 x 的角定义域-1，1-1，1(-，+)(-，+)值域-，2 20，(-，)2 2(0，)性 质单调性在-1，1上是增 函数在-1，1上 是减函数在(-，+)上是增 数在(-，+)上是 减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=- arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=- arccotx周期性都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x-1，1) arcsin(sinx)=x(x-,)2 2cos(arccosx)=x(x-1,1) arccos(cosx)=x(x0,)tan(arctanx)=x(x R)arctan(tanx)=x（x(-,)）2 2cot(arccotx)=x(xR) arccot(cotx)=x(x(0,)互余恒等式arcsinx+arccosx=(x-1,1)2arctanx+arccotx=(XR)2
