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1、MajorizationMajorization 不等式其实是琴生不等式其实是琴生(Jensen)(Jensen)不等式的一个推广不等式的一个推广Majorization 不等式其实是琴生(Jensen)不等式的一个推广。正如琴生不等式 对一个凸(凹)的函数给出一个极值(极大值或极小值)，而 Majorization 不等 式能够在某些情况下，如以下例子一样，同给出两者。为了引述这个不等式， 首先介绍对有序实数集的 majorization 概念。 定义： 设 (x1, x2, ., xn)、(y1, y2, ., yn)为两个 n 元有序实数组，且满足以 下条件ox1 x2 . xn，y1
2、y2 . yn，且 o x1y1，x1+ x2y1+y2 , x1+ x2+ x3y1+y2+y3 , . , x1+ .+ xn-1y1+.+yn-1 ，及 ox1+ .+ xn=y1+.+yn ； 则记(x1, x2, ., xn)(y1, y2, ., yn)。 其实以上对于的比较方法是由 Schur 所定义，其用意是说明：当排列 总和相同的数列由大到小，对于 已知一数列，定理定理(Majorization(Majorization 不等式不等式) )： 设函数 f 在闭区间 I=a, b为凸的，且 (x1, x2, ., xn)(y1, y2, ., yn)其中实数 xi, yj在 I
3、。则有 f(x1)+ f(x2)+ . + f(xn)f(y1)+ f(y2)+ . + f(yn)。 此外，对于严格凸的函数 f，等号成立当且仅当 这两个 n 元组相等，即(x1, x2, ., xn) = (y1, y2, ., yn)。 对于下凹的函数，只须要将结论中的不等式的方向换过来。注：Majorization 不等式的证明将放在最后。 以下要证明琴生不等式可由 Majorization 不等式中得出。这可由以下的观察：(x1, x2,., xn)(x, x, ., x)，其中 x 是 x1, x2,., xn的平均值。 应用 Majorization 不等式而得到琴生不等式。 只
4、须要证明： 对于 k=1, 2, ., n-1，有 x1+ x2+ .+xkkx。 (略去) 。 1. 对于锐角三角形 ABC，证明：1 cos A+ cos B + cos C 3/2。试确 定等号成立的充要条件。 证明：不妨假设 CBA，已知 A+B+C=，因而 C/3A/2。所 以有(/2, /2, 0)(A, B, C)(/3, /3, /3)。已知余弦 函数 cos(x)在闭区间0, /2上是严格凹的。由 Majorization 不等式， 得 1=cos(/2)+cos(/2)+cos(0) cos A+ cos B + cos Ccos(/3)+cos(/3)+cos(/3)=3
5、/2 。 2. 证明：若 a、b 为非负实数，则。 (Math Horizons, 1995 年十一月) 证：由于左右两式对 a、b 是对称的，不妨假设 ab。记 x1=b+3b、x2=b+3a、x3=a+3b、x4=a+3a。得知 x1、x4分别是四个 数中最大、最小的。又由于 x1+x4=x2+x3，得(x1, x4)(x2, x3)或者(x3, x2)视乎 x2、x3的大小。 由于函数 f(x)=3x 在区间0, +)上是严格凹的，由 Majorization 不等式，得。 3. 试求 a12+b12+c12的极大值，其中-1a、b、c1 及 a+b+c = -1/2。 证：分下列几步：
6、 o已知函数 f(x)=x12在区间-1,1上是凸。(这可由二阶导数 f(x) 0 而得到；否则要运用 f(x)=(x2)2)3，并且每个函数在适当的 定义域上用琴生不等式。) o如果 1abc-1，及 a+b+c=-1/2，则有 1/2=1 - 1/2-c - 1/2=a+b，所以有(1,-1/2,-1)(a,b,c)，由 Majorization 不等 式，有 a12+b12+c12=f(a)+f(b)+f(c)f(1)+f(-1/2)+f(-1)=2+2-12。 4. (1999 IMO)设 n 是一个固定的整数，n2。 a. 确定最小常数 C，使得不等式 1i2，令 ai=xi/(x1
7、+.+xn)，则 a1+.+an=1。作为以的不等式， 原不等式等价地改写为 1i1/2，则由于 1-a1, a2, ., an全位于闭区间0, 1/2。 由于(1-a1, 0, 0, ., 0)(a2, a3, ., an)，由 Majorization 不等式及 n=2 的情况，有 1in f(ai) =f(a1)+f(a2)+f(a3)+.+f(an) f(a1)+f(1-a1)+f(0)+.+f(0) 1/8。最后不等式的等号成立当且仅当以上的所有不等式成立，所以有 1-a1=a1=1/2，及其它的(n-2)个变量全为 0。所以 C=1/8。有关 Majorization 不等式的证明
8、： 引理：设 I 为实数轴上的一个区间，及 f：IR 为一凸的函数， 即对于 I 中任意的两个实数 x、y，有 f( (x+y)/2 )f(x) +f(y) /2。 若 aa，两式除去正数(c-a)后，得到题目中左边的不等式。 从(*)的两边减去 f(b)，得 -(f(b)-f(c) ) =f(c)-f(b) (1-t)f(a)-(1-t)f(b) =(1-t) f(a)-f(b) =(b-c) f(a)-f(b) /(b-a)=-(b-c) f(b)-f(a) /(b-a)。 两式除去负数-(b-c)后，得到引理中左边的不等式。注：几何解释： 设 A(a, f(a) )、B(b, f(a)
9、)、C(c, f(c) )为 xy 坐标平面上的函数 f：IR 的图上三个点，则由以上的引理，得知割线 AB、AC、CB 的斜率、mAB、mAC、mCB 满足以下的大小关系：mACmAB、mCBmAB。 若先固定点 A，则过点 A 的割线的斜率会随着动点 C 向右移动而增加； 若先固定点 B，则过点 B 的割线的斜率会随着动点 C 向左移动而减小。 现在回到 Majorization 不等式的证明： 定理定理(Majorization(Majorization 不等式不等式) )： 设函数 f 在闭区间 I=a, b为凸的，且 (x1, x2, ., xn)(y1, y2, ., yn)其中实
10、数 xi, yj在 I。则有 f(x1)+ f(x2)+ . + f(xn)f(y1)+ f(y2)+ . + f(yn)。 对于严格凸的函数 f，等号成立当且仅当 这两个 n 元组相等，即(x1, x2, ., xn) = (y1, y2, ., yn)。 对于下凹的函数，只须要将结论中的不等式的方向换过来。 证：已知(x1, x2, ., xn)(y1, y2, ., yn)，所以对所有的 i=1,2,.,n，有 xi+1 xi及 yi+1 yi。令 mi=f(xi)-f(yi)/(xi-yi)，由引理， 可以证明：mi mi+1如下： 如果 yi+1yixi+1xi：应用引理，可以有 m
11、i+1=f(xi+1)-f(yi+1)/(xi+1-yi+1) f(xi+1)-f(yi)/(xi+1-yi) 第二个不等式：yi+1yixi+1 f(xi)-f(yi)/(xi-yi) 第一个不等式：yixi+1xi =mi。 对于 yi+1yi、xi+1xi的其它可能分配，可以运月用类似的方法，略去。记 Xk=x1+x2+ .+xk、Yk=y1+y2+ .+yk，此外为了以后方便，令 X0=Y0=mn+1=0。 由已知条件得于 XkYk当 k=1,2,.,n-1，及 Xn=Yn。所以有 01kn(Xk-Yk)(mk- mk+1) =1kn(Xk-Xk-1)-(Yk-Yk)mk =1kn(xk-yk)mk =1kn f(xk)-f(yk) 即 1knf(xk)1knf(yk)。 注：代数解释： (x1, x2, ., xn)(y1, y2, ., yn)可以看成凸性的组合条件。
