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1、111.411.4 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列考考纲纲要要求求 1理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现 象的重要性，会求某些取有限 个值的离散型随机变量的分布列 2了解超几何分布，并能进行简单的应用1随机试验 一般地，一个试验如果满足下列条件： (1)试验可以在相同的条件下重复进行； (2)试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次 试验的结果会出现哪一个，这种试验就是一个随机试验 2随机变量 在随机试验中，随着_变化而变化的变量称为随机变量 3离散型随机变
2、量 所有取值可以_的随机变量，称为离散型随机变量随机变量通常用大写字母 X，Y，Z等表示，也可以用希腊字母，等表示 4离散型随机变量的分布列 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xn，X取每一个值 xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，以表格的形式表示如下： Xx1x2xixn Pp1p2pipn 此表称为离散型随机变量X的_，简称为X的_有时为了表达简单， 也用等式_表示X的分布列 5离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi0，i1,2，n； (2)_ 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率 之和 6两点分布 若随机变量X的分布列为
3、： X01 P1pp 则称这样的分布列为_如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服 从两点分布 7超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件“Xk”发生 的概率P(Xk)_，称随机变量X服从超几何分布 随机变量X的分布列为 X01imP00C C Cn MN M n N 11C C Cn MN M n N C C Cin i MN M n N C C Cmn m MN M n N 1抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X，那么X4 表示的随机试验结果是( ) A两颗都是 4 点 B两颗都是 2 点 C一颗是 1 点，另一颗是 3 点2D一颗是 1 点，另一颗是 3
4、 点，或者两颗都是 2 点 2设是一个离散型随机变量，则下列不一定能成为的概率分布列的一组数是( ) A0,0,0,1,0 B0.1,0.2,0.3,0.4 CP,1P(P为实数)D.， (nN N*)1 1 21 2 31 n1n1 n 3若X的分布列为 X01 P9c2c38c ，则常数c_. 4从一批含有 13 件正品，2 件次品的产品中，不放回地任取 3 件，则取得次品数为 1 的概率为_一、随机变量 【例 1】下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由 (1)某国际机场候机室中 2012 年 10 月 1 日的旅客数量； (2)2012 年某天济南至北京的 D36 次列
5、车到北京站的时间； (3)2012 年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间所查酒驾的人数； (4)体积为 1 000 cm3的球的半径长 方法提炼方法提炼 1随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随 机变量的取值实质上是试验结果对应的数，虽然预先知道这些数的所有可能取值，但是不 知道究竟是哪一个值 2离散型随机变量必须能够“一一列出” ，这说明试验的结果是有限的，而连续型随 机变量可取某一区间内的一切值，无法对其中的值一一列举这点是区别于非离散型随机 变量的关键 3所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结 果数量化，变量的取值
6、对应随机试验的某一个随机事件写随机变量表示的结果，要看三 个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不 能确定取值 4连续型变量可转化为离散型随机变量 请做演练巩固提升 1 二、两点分布 【例 2】 一个盒子中装有 5 个白色玻璃球和 6 个红色玻璃球，从中摸出两球当两 球全红时，记为X0；当两球非全红时，记为X1.试求X的分布列 方法提炼方法提炼 两点分布是一种特殊的分布，随机变量只能取 0,1.因为两点分布只有两个对立结果， 所以只需求出其中一个的概率，便可求得另一个的概率 请做演练巩固提升 2 三、超几何分布的实际应用 【例 31】在一次购物抽
7、奖活动中，假设某 10 张奖券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖某顾客从 这 10 张中任抽 2 张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列 【例 32】生产方提供 50 箱的一批产品，其中有 2 箱不合格产品采购方接收该批 产品的准则是：从该批产品中任取 5 箱产品进行检测，若至多有 1 箱不合格产品，便接收 该批产品问：该批产品被接收的概率是多少？3方法提炼方法提炼 1在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的 概率P(Xm)，从而列出X的分
8、布列 2一旦掌握了X的分布列，就可以算出相应事件的概率 请做演练巩固提升 3离散型分布列的规范解答 【典例】 (12 分)(2012 福建高考)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产 每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿 车，保修期均为 2 年现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆，统计数据如下：品牌甲乙 首次出现故障时间x(年)0x11x2x20x2x2 轿车数量(辆)2345545 每辆利润(万元)1231.82.9 将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概 率；
9、 (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品 牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列； (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的 轿车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由 规范解答：规范解答：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A).(3 分)23 501 10 (2)依题意得，X1的分布列为 X1123P1 253 509 10 (6 分) X2的分布列为 X21.82.9P1 109 10 (9 分)(3)由(2)得，E(X1)1232.86(万元)，1 25
10、3 509 10143 50E(X2)1.82.92.79(万元)1 109 10 因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车(12 分) 答题指导：答题指导：求离散型随机变量的分布列问题，其核心是求随机变量取各个值时对应事 件的概率，通常与古典概型、相互独立事件等有关；而分布列的应用则主要是根据分布列 求某一事件的概率，这时关键是分析这一事件包含了随机变量的哪些个取值，从而利用互 斥事件的概率加法公式计算求解1写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果 (1)袋中有大小相同的红球 10 个，白球 5 个，从袋中每次任取 1 个球，取后不放回， 直到取出的球是白球为止，
11、所需要的取球次数； (2)从标有数字 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中任取 2 张，所取卡片上的数字之和42在下面的分布列中，随机变量X是服从两点分布的吗？ X25 P0.30.7 350 张彩票中只有 2 张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张 中奖的概率大于 0.5，n至少为多少？5参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 2试验结果 3一一列出 4概率分布列 分布列 P(Xxi)pi，i1,2，n5(2)11ni ip6两点分布列7. ，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN N* *C C Ckn k MN M n
12、N 基础自测基础自测 1D 解析：解析：由于抛掷一颗骰子，可能出现的点数是 1,2,3,4,5,6 这 6 种情况之一， 而X表示抛掷两颗骰子所得点数之和，所以X41322，表示的随机试验结果是： 一颗是 1 点，另一颗是 3 点，或者两颗都是 2 点2C 解析：解析：显然 A，B 满足分布列的两个性质；对于 D，有1 1 21 2 3 1 1.1 (n1)n1 n1 21 21 31 n11 n1 n又(0,1)且 (0,1)，nN N* *，1 (n1)n1 n 所以它也满足分布列性质； C 中，由于P为实数，不妨取P3，显然 1P20 不满足概率的非负性3. 解析：解析：由分布列的性质得
13、Error!解得c .1 31 34. 解析：解析：设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中12 35N15，M2，n3，它的可能的取值为 0,1,2，相应的概率为P(X1).12 213 3 15C C C12 35考点探究突破考点探究突破 【例 1】 解：(1)候机室中的旅客数量可能是：0,1,2，出现哪一个结果是不确定 的，因此是随机变量 (2)D36 次济南至北京的列车，到达终点的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时， 亦可能晚点，故是随机变量 (3)在 2012 年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间，所查酒驾的人数是随机变化的，因此也是 随机变量 (4)体积为
14、 1 000 cm3的球的半径长为定值，故不是随机变量 【例 2】 解：由题意可知X服从两点分布，则P(X0)，2 6 2 11C C3 11P(X1)1.3 118 11 所以X的分布列为 X10P8 113 11 【例 31】 解：(1)记顾客中奖为事件A.6方法一：P(A)11 .2 6 2 10C C1 32 3方法二：P(A) .112 464 2 10C CC C30 452 3即该顾客中奖的概率为 .2 3 (2)X所有可能的取值为(单位：元)：0,10,20,50,60，且P(X0) ，02 46 2 10C C C1 3P(X10) ，11 36 2 10C C C2 5P(
15、X20)，2 3 2 10C C1 15P(X50)，11 16 2 10C C C2 15P(X60).11 13 2 10C C C1 15故X的分布列为 X010205060P1 32 51 152 151 15 【例 32】 解：以 50 箱为一批产品，从中随机抽取 5 箱，用X表示“5 箱中不合格 产品的箱数” ，则X服从超几何分布，其中N50，M2，n5.于是，该批产品被接收的概率为P(X1).05 248 5 50C C C14 248 5 50C C C243 245演练巩固提升演练巩固提升 1解：(1)设所需的取球次数为X，则X1,2,3，11，Xi表示前i1 次取到 的均是红球，第i次取到白球，这里i1,2,3，11. (2)设所取卡片上的数字之和为X，则X3,4,5，11. X3，表示取出标有 1,2 的两张卡片；X4，表示取出标有 1,3 的两张卡片；X5， 表示取出标有 2,3 或 1,
