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1、中考数学重难点专题讲座中考数学重难点专题讲座第九讲第九讲 几何图形的归纳几何图形的归纳, ,猜想猜想, ,证明问题证明问题【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08 年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09 年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的 n 等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了
2、这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。第一部分第一部分 真题精讲真题精讲【例例 1】2010，海淀，一模，海淀，一模如图，+1 个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，设的面积为，n211B DC1S的面积为，的面积为，则= ；=_ 322B D C2S1nnnBD CnS2SnS（用含的式子表示） nD4D3D2D1C5C4C3C2C1B5B4B3B2B1A 【思路分析思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是
3、,22B AC这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先所代表的三角形的底33B AC2S边是三角形的底边,而这个三角形和是相似的.所以边长的比例就2C2D2AC2D3AC3B是与的比值.于是.接下来通过总结,我们发现所求的三角形有2AC3AC2122 323233S g g g一个最大的共性就是高相等,为（连接上面所有的 B 点，将阴影部分放在反过来的等边3三角形中看） 。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的 B,C 点连线的边都是平行的，于是自然可以得出 自然是所在边上的 n+1 等分点.例如nD就是的一个三等分点.于是(n+1-1 是什么意思?
4、为什么要减 1?)2D2B2C1 121nnnD Cn 11123332211nnnBD CnnnnSD Cnng【例例 2】2010，西城，一模，西城，一模在平面直角坐标系中，我们称边长为 1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形的四个顶点坐标分别是，ABCD( 80) ，(04)，(80)，则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数是_个；若菱形的(04)，ABCDnnnnA B C D四个顶点坐标分别为，（为正整数） ，则菱形( 20)，n(0)， n(20)，n(0)，nn能覆盖的单位格点正方形的个数为_（用含有的式子表示） nnnnA B C Dn-8-448ODC
5、BAyx【思路分析思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是 48（笑） 。这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被 X,Y 轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以 4 即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为,斜率意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些 RT 三角形一1 2yxn1 2共有 2n/2=n 个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是?而且这些直角三角形都是全1 2等的,面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的AOB 的面
6、积自然就是,所122n n有 n 个空白小三角形的面积之和为,相减之后自然就是所有格点正方形的面积12 12n ,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是. 2nn244nn【例例 3】2010，平谷，一模，平谷，一模如图，过上到点的距离分别为的点作的垂线45AOBOAO1 3 5 7 9 11.，OA与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234SSSS L，则第一个OB黑色梯形的面积 ；观察图中的规律，第(为正整数 )个黑色梯形的面1S n n积 nS BA.1311975310S4S3S2S1【思路分析思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为，所以梯
7、形的上下底长度分别都对应了垂足到 0 点的距离,而高则是固定的 2。45AOB第一个梯形上底是 1，下底是 3，所以.第二个梯形面积1113242S ,第三个是,至此,我们发现本题中梯形面积数值上21572122S 319112202S 其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上 4。于是第 n 个梯形的上底就是 1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底第一个梯形的上底 1 加上加上(n-1)个个 4.)下底自然就是 4n-1,于是就nS是 8n-4. 【例 4】2010，丰台，一模在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点请你观察图中正方形A1B1C1D1
8、，A2B2C2D2，A3B3C3D3每个正方形四条边上的整点的个数按此规律推算出正方形 A10B10C10D10四条边上的整点共有 个yxOD1D2D3C1C2C3B1B2 B3A3A2A1123-1-2-3-3-2-1321【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于来说,每条边的长度是 2n,那么自然整点个数就是 2n+1，所以四条边上整点一共nnnnA B C D有(2n+1)x4-4=8n(个)( (要减去四个被重复算的顶点要减去四个被重复算的顶点),),于是就是 80 个.10101010A B C D【例例 5】2010，宣武，一模，宣武，一模如图，AB
9、C 中，ACB=90，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC 的 BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_【思路分析思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词“中点” “垂线” “等腰直角” 。这就意味着每个三角形的锐角都是45 度，并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈是 360 度，包涵了 8 个 45。于是绕到第八次就可以和 BC 重叠了，此时边长为ABC 的，故而得解。81【例例 6】2010，门头沟，一模，门头沟，一模如图，以等腰三角形的斜边为直角边向外作第个等腰直
10、角三角形，再以等AOB21ABA腰直角三角形的斜边为直角边向外作第 个等腰直角三角形，如此作下1ABA311ABB去，若，则第个等腰直角三角形的面积 _（n 为正整数）.1OAOBnnS B2B1A1BOA【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得 ，分子就是 1,2,4,8,16 这样的数列。于是123124. 222SSS，2 2nnS 【总结总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已。对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，
11、这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律，如上面例 6 就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握。第二部分第二部分 发散思考发散思考【思考 1】2009，西城，二模如图，在平面直角坐标系 xOy 中，1B(0,1)2B(0,3)3B(0,6)，以为对角线作第一个正方形，以4B(0,10)12B B1112ABC B为对
12、角线作第二个正方形，以为对角线作第23B B2223A B C B34B B三个正方形，如果所作正方形的对角线都在3334A B C B1nnB By 轴上，且的长度依次增加 1 个单位，顶点都在第一象1nnB BnA限内（n1，且 n 为整数） 那么的纵坐标为 ；用 n1A的代数式表示的纵坐标： nA【思考 2】2009，朝阳，二模如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点处开始跳动，第一P次跳到点关于 x 轴的对称点处，接着跳到点关于 y 轴P1P1P的对称点 处，第三次再跳到点关于原点的对称点处，2P2P如此循环下去当跳动第 2009 次时，棋子落点处的坐标是 【思考 3】2009，昌平,一
13、模对于大于或等于 2 的自然数 n 的平方进行如下“分裂” ，分裂成 n 个连续奇数的和，则自然数 72的分裂数中最大的数是 ，自然数 n 的分裂数中最大的数是 .2【思考 4】2009，延庆，一模一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后xy(01)，131350123xy123接着按图中箭头所示方向运动,即，且每秒移动一个单(0 0)(01)(11)(10)，位，那么第 35 秒时质点所在位置的坐标是_【思考 5】2009，海淀，二模如图，将边长为的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的),(L32121nn正方形的中心依次为 A1, A2, A3, .若摆放前 6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 ；若摆放前 n（n 为大于 1 的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 .第三部分第三部分 思考题解析思考题解析【思考 1 答案】2；2(1) 2n【思考 2 答案】 （3，2）【思考 3 答案】13；2n-1【思考 4 答案】 （5，0） 【思考 5 答案】10，)(1241nnA4A2A3 A1
