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1、高中三角函数公式大全高中三角函数公式大全图图1 三角函数的定义 1.1 三角形中的定义 图 1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形 ABC，如下定义六个三角函数：正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数1.2 直角坐标系中的定义 图 2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数r余割函数2 转化关系 2.1 倒数关系2.2 平方关系 2 和角公式 3 倍角公式、半角公式3.1 倍角公式 3.2 半角公式 3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积4.1 积化和差公式 证明过程首先，sin(+)=sincos
2、+sincos（已证。证明过程见和角公式与差角公式的证明）因为 sin(+)=sincos+sincossin(+)=sincos+sincos（正弦和角公式）则sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+sin(-)cos=sincos-sincos于是sin(-)=sincos-sincossin(-)=sincos-sincos（正弦差角公式）将正弦的和角、差角公式相加，得到sin(+)+sin(-)=2sincos则sincos=sin(+)/2+sin(-)/2sincos=sin(+)/2+sin(-)/2（“积化和差公式”之一）同样地，运用诱导公式 cos=sin(/2-)
3、，有cos(+)=sin/2-(+)=sin(/2-)=sin(/2-)+(-)=sin(/2-)cos(-)+sin(-)cos(/2-)=coscos-sinsin于是cos(+)=coscos-sinsincos(+)=coscos-sinsin（余弦和角公式）那么cos(-)=cos+(-)=coscos(-)-sinsin(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsin（余弦差角公式）将余弦的和角、差角公式相减，得到cos(+)-cos(-)=-2sinsin则sinsin=cos(-)/2-cos(+)/2sinsi
4、n=cos(-)/2-cos(+)/2（“积化和差公式”之二）将余弦的和角、差角公式相加，得到cos(+)+cos(-)=2coscos则coscos=cos(+)/2+cos(-)/2coscos=cos(+)/2+cos(-)/2（“积化和差公式”之三）这就是积化和差公式：sincos=sin(+)/2+sin(-)/2sincos=sin(+)/2+sin(-)/2sinsin=cos(-)/2-cos(+)/2sinsin=cos(-)/2-cos(+)/2coscos=cos(+)/2+cos(-)/2coscos=cos(+)/2+cos(-)/24.2 和差化积公式 部分证明过程
5、：sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+sin(-)cos=sincos-sincoscos(+)=sin90-(+)=sin(90-)-=sin(90-)cos-sincos(90-)=coscos-sinsincos(-)=cos+(-)=coscos(-)-sinsin(-)=coscos+sinsintan(+)=sin(+)/cos(+)=(sincos+sincos)/(coscos-sinsin)=(costancos+costancos)/(coscos-costancostan)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=tan+(-)=tan+tan
6、(-)/1-tantan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)诱导公式诱导公式sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(pi/2-a)=cos(a) cos(pi/2-a)=sin(a) sin(pi/2+a)=cos(a) cos(pi/2+a)=-sin(a) sin(pi-a)=sin(a) cos(pi-a)=-cos(a) sin(pi+a)=-sin(a) cos(pi+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinA/cosA两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos()sin(b) cos(a
7、+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=(tan(a)+tan(b)/(1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=(tan(a)-tan(b)/(1+tan(a)tan(b)三角函数和差化积公式三角函数和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin(a+b)/2)cos(a-b)/2) sin(a)sin(b)=2cos(a+b)/2)sin(a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b)/2)
8、cos(a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b)/2)sin(a-b)/2)积化和差公式积化和差公式sin(a)sin(b)=-1/2*cos(a+b)-cos(a-b) cos(a)cos(b)=1/2*cos(a+b)+cos(a-b) sin(a)cos(b)=1/2*sin(a+b)+sin(a-b)二倍角公式二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)半角公式半角公式sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(
9、a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)万能公式万能公式sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2) cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan2(a/2)其它公式其它公式a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a2+b2)sin(a+c) 其中，tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a2+b2)cos(a-c) 其中，tan(c)=a/b 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)2 1-sin(a)=(sin(a/
10、2)-cos(a/2)2其他非重点三角函数其他非重点三角函数csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)双曲函数双曲函数sinh(a)=(ea-e(-a)/2 cosh(a)=(ea+e(-a)/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)常用公式表常用公式表（一一）1 1。乘法公式。乘法公式 （1 1） （a+ba+b）=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2 (2)(a-b)=a-2ab+b(2)(a-b)=a-2ab+b (3)(a+b)(a-b)(3)(a+b)(a-b) =a-b=a-b (4)a+b=(a+b)(a-ab+b)(4)a+b=(a+b)(a-
11、ab+b) (5)a-b=(a-b)(a+ab+b)(5)a-b=(a-b)(a+ab+b) 2 2、指数公式：、指数公式：(1)a(1)a =1=1 （a0a0） （2 2）a a= =（a0a0） （3 3）a a= =0PPa1mn mna（4 4）a a a a =a=a （5 5）a a aa = =a=a （6 6） （a a ） =a=amnnmmnnmaanmmn（7 7） （abab） =a=a b b （8 8） （）n= =nnba（9 9） （a）2=a=a nnnba（1010）=|a|=|a|2a3 3、指数与对数关系：、指数与对数关系：（1 1）若）若a ab=N
12、=N，则，则 （2 2）若）若1010b=N=N，则，则b=lgNb=lgN Nbalog（3 3）若）若=N=N，则，则b=Nb=Nbe4 4、对数公式：、对数公式：（1 1）, , eeb=b=b （2 2），e eNln=N=NbabalogNaaNlog（3 3） （4 4） （5 5）aNNalnlnlogabbealnNMMNlnlnln（6 6） （7 7） （8 8）= =NMNMlnlnlnMnMnlnlnMnln15 5、三角恒等式：、三角恒等式： （1 1） （SinSin）+（CosCos）=1=1 （2 2）1+1+（tantan）=(sec)=(sec)（3 3）1
13、+(cot)=(csc)1+(cot)=(csc) （4 4） （5 5）tancossincotsincos（6 6） （7 7） （8 8）tan1cotcos1csccos1sec6 6、特殊角三角函数值：、特殊角三角函数值：0 06 4 32232sinasina0 02122 231 10 0-1-10 0cosacosa1 123 22 210 0-1-10 01 1tanatana0 0331 130 0-0 0cotacota31 1330 0-0 07.7.倍角公式倍角公式：（1 1） （2 2）2tan1tan22tan（3 3） 2222sin211cos2sincos2cos8.8.半角公式半角公式（降幂公式降幂公式）：）：（1 1） （）2= =2cos1a（2 2） （）2= =2cos1a2sin 2cos（3 3）= =aa sincos1= =aa cos1sin 2tan9 9、三角函数与反三角函数关系：、三角函数与反三角函数关系： （1 1）若）若x=sinyx=siny，则，则y=arcsinxy=arcsinx （2 2）若）若x=cosyx=cosy，则，则y=arccosxy=arccosx （
