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1、12013 上海市初中数学竞赛上海市初中数学竞赛(新知杯新知杯)（2013 年年 12 月月 8 8 日日 上午上午 9:0011:00） 二二题题 号号一一 （18）9 9101011111212总总 分分得得 分分评评 卷卷复复 核核1、填空题(每题 10 分)1.已知，则721,721 ba._33bbaa2.已知，43214321/,/mmmmllll._,20,100EFGHILKJABCDSSS则3.已知在上且过点作的平行线交FEACABA、，, 8, 690AB3, 2BFAEEAC于，的延长线交的延长线于，则BCDFDACG._GF4.已知凸五边形的边长为为二次三项式；当或者)
2、(,54321xfaaaaa1ax 2时，5432aaaax5)(xf当时，当时，则21aax,)(pxf543aaaxqxf)(._qp5.已知一个三位数是 35 的倍数且各个数位上数字之和为 15，则这个三位数为_.6.已知关于的一元二次方程对于任意的实数都有实数根，则的x0)2)(1(2mmaxxam取值范围是_.7.已知四边形的面积为 2013，为上一点，的重心分别为ABCDEADCDEABEBCE,，那么的面积为_.321,GGG321GGG8.直角三角形斜边上的高，延长到使得，过作交于，AB3CDDCP2CPBAPBF CDE交于，则APF._DE二、解答题（第 9 题、第 10
3、题 15 分，第 11 题、第 12 题 20 分）9.已知，四边形是正方形且边长为 1，求的最大值.90BACADEFCABCAB111310.已知是不为 0 的实数，求解方程组：a axyxyayxxy111.已知：为整数且，求的, 1nnaaaa,321L2013321321nnaaaaaaaaLLn最小值.12.已知正整数满足求所有满足条件的的值.dca、b),13(),13(22dcbdcad答案：1. 2.60 3. 4.0 5.735 6. 7. 8. 2710226512m3671 599. 10.经检验原方程组的解为：，.CABCAB1114221 1122ayaax1122
4、ayaax11.【解析】满足题设等式，下证当时，不存在2013, 1, 1, 554321aaaaan当4n满足等式要求的整数，不妨设，naaaaL3214(1)当时，当中有负整数时，必为4n6111320134321,aaaa，若不满足条件，当 20132015, 14343 21aaaaaa2013, 143aa无解.不可能，当中无负整数时，显然20152671, 344343aaaaa4321,aaaa，容易验证等式不可能成立.20134a6714a(2)当时，当中有负整数时，必为显然等式不成立，当中无负3n321,aaa, 121 aa321,aaa整数时，同上容易验证等式不可能成立.
5、(3)当时，均为正整数，同上易验证等式不可能成立.2n21,aa综上所述，的最小值为 5.n12.85d 2013 上海新知杯初中数学竞赛答案上海新知杯初中数学竞赛答案5678920122012 年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2012 年年 12 月月 9 日日 上午上午 9:0011:00） 二二题题 号号一一 （18）9 9101011111212总总 分分得得 分分评评 卷卷复复 核核解答本试卷可以使用科学计算器解答本试卷可以使用科学计算器一、一、 填空题（每题填空题（每题 10 分，共分，共 80 分）分）1. 已知已知的边的边上的高为上的高为，
6、与边，与边平行的两条直线平行的两条直线将将的面积三等分，的面积三等分，则直线则直线与与之间的距离为之间的距离为_。2. 同时投掷两颗骰子，同时投掷两颗骰子，表示两颗骰子朝上一面的点数之和为表示两颗骰子朝上一面的点数之和为的概率，则的概率，则的值为的值为_。3. 在平面直角坐标系在平面直角坐标系中，已知点中，已知点（，），点），点在直线在直线上，使得上，使得是等是等腰三角形，则点腰三角形，则点的坐标是的坐标是_。4. 在矩形在矩形中，中，。点。点分别在分别在上，上，使得使得。是矩形内部的一点，若四边形是矩形内部的一点，若四边形的面积为的面积为，则四边形，则四边形的面积等于的面积等于_。5. 使得
7、使得是素数的整数是素数的整数共有共有_个。个。6. 平面上一动点平面上一动点到长为到长为的线段的线段所在直线的距离为所在直线的距离为，当，当取到最小值时，取到最小值时，_。107. 已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式（是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面积为积为_。8. 将所有除以将所有除以余余和除以和除以余余的正整数从小到大排成一列，设的正整数从小到大排成一列，设表示这数列的前表示这数列的前项的和
8、，项的和，则则_。（这里。（这里表示不超过实数表示不超过实数的最大整数。的最大整数。）二、二、 解答题（第解答题（第 9,10 题，每题题，每题 15 分，第分，第 11,12 题，每题题，每题 20 分，共分，共 70 分）分）9. 如图，如图，是正方形是正方形内一点，过点内一点，过点分别作分别作的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为。已。已知知，求证：或者，求证：或者，或者，或者。10. 解方程组解方程组。1111. 给定正实数给定正实数，对任意一个正整数，对任意一个正整数，记，记，这里，这里，表示不超过实数表示不超过实数的最大整数。的最大整数。（1） 若若，求，求的取值范围；的取值范围；（
9、2） 求证：求证：。12. 证明：在任意证明：在任意个互不相同的实数中，一定存在两个数个互不相同的实数中，一定存在两个数，满足，满足122011 年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2011 年年 12 月月 4 日日 上午上午 9:0011:00） 二二题号题号一一 （18）9101112总分总分得分得分评卷评卷复核复核解答本试卷可以使用科学计算器解答本试卷可以使用科学计算器一、一、 填空题（每题填空题（每题分，共分，共分）分）10801.已知关于已知关于的两个方程：的两个方程：，其中，其中。若。若xLL032 mxxLL02 mxx0 m方程方程中有一个根
10、是方程中有一个根是方程的某个根的的某个根的倍，则实数倍，则实数的值是的值是_。3m2.已知梯形已知梯形中，中，/，则梯，则梯ABCDABCD 90ABCADBD 5 BC13 BD形形的面积为的面积为_。ABCD3.从编号分别为从编号分别为，的的张卡片中任意抽取张卡片中任意抽取张，则抽出卡片的编号都大于张，则抽出卡片的编号都大于1234566313等于等于的概率为的概率为_。24.将将个数个数，排列为排列为，87 5 3 2 24613a，使得，使得的值最小，则这个最小的值最小，则这个最小bcdefgh 22hgfedcba 值为值为_。5.已知正方形已知正方形的边长为的边长为，分别是边分别是
11、边，上的点，使得上的点，使得，ABCD4EFABBC3 AE，线段，线段与与相交于点相交于点，则四边形，则四边形的面积为的面积为_。2 BFAFDEGDGFC6.在等腰直角三角形在等腰直角三角形中，中，是是内一点，使得内一点，使得，ABC 90ACBPABC 11 PA，则边，则边的长为的长为_。7 PB6 PCAC7.有有名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场） ，规定获胜得，规定获胜得分，平局得分，平局得分，负分，负1021得得分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第名的得分是最后五
12、名选手的得分名的得分是最后五名选手的得分02和的和的，则第，则第名选手的得分是名选手的得分是_。5428.已知已知，都是质数（质数即素数，允许都是质数（质数即素数，允许，有相同的情况）有相同的情况） ，且，且是是abcdabcdabcd个连续正整数的和，则个连续正整数的和，则的最小值为的最小值为_。35dcba 二、二、 解答题（第解答题（第，题，每题题，每题分，第分，第，题，每题题，每题分，共分，共分）分）9101511122070 9.如图，矩形如图，矩形的对角线交点为的对角线交点为，已知，已知，角，角的平分线与边的平分线与边交交ABCDO 60DACDACDC 于点于点，直线，直线与与相
13、交于点相交于点，直线，直线与与相交于点相交于点 M。求证：。求证：。SOSADLBLACLCSM / 解解OMSLDCBA1410. 对于正整数对于正整数，记，记。求所有的正整数组。求所有的正整数组，使得，使得nnn L21! fedcba,，且，且。!fedcba fedcba 解解11. （1）证明：存在整数）证明：存在整数，满足，满足；xy2022422 yxyx（2）问：是否存在整数）问：是否存在整数，满足，满足证明你的结论。证明你的结论。xy?2011422 yxyx解解1512. 对每一个大于对每一个大于的整数的整数，设它的所有不同的质因数为，设它的所有不同的质因数为，对于每个，对于每个1n1p2p.kp，存在正整数，存在正整数，使得，使得， kipi 1ia1 iia ia ipnp记记例如，例如，。 ka kaapppnp L21 21 895210026 p（1）试找出一个正整数）试找出一个正整数，使得，使得；n nnp （2）证明：存在无穷多个正整数）证明：存在无穷多个正整数，使得，使得。n
