常数项数的概念与性质

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1、第七章 无穷级数正如有限中包含着无穷级数，而无限中呈现极 限一样；无限之灵魂居于细微之处，而最紧密地趋 近极限却并无止境. 区分无穷大之中的细节令人喜 悦！小中见大，多么伟大的神力.-雅克雅克. 伯努利伯努利)1(无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有 力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面 都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论 在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章 先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，

2、并着重讨论如何 将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节第一节 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质内容分布图示内容分布图示引言引例 常数项级数的概念 例 1例 2例 3 例 4例 5Koch 雪花级数的基本性质 例 6例 7例 8 例 9 内容小结课堂练习 习题 7-1 返回内容要点内容要点:一、一、 无穷级数无穷级数与其部分和数列与其部分和数列具有同样的敛散性具有同样的敛散性，；1nnuns1nnunns lim二、收敛级数的性质：二、收敛级数的性质： （1）级数满足线性运算； （2）在级数中改变、去掉或增加前面有限项，不会改变级数的收敛性. （3） 在一个收敛级数中，任意添加括

3、号所得到的新级数仍收敛于原来的和.（4）级数收敛的必要条件：若级数收敛，则 1nnu0lim nnu三、柯西审敛原理简介三、柯西审敛原理简介. 例题选讲：例题选讲： 利用级数的部分和数列讨论级数的敛散性：利用级数的部分和数列讨论级数的敛散性：例例 1（讲义例（讲义例 1）讨论级数 的收敛性.LL) 1(1 321 211 nn例例 2（讲义例（讲义例 2）证明级数是发散的.LLn321 例例 3（讲义例（讲义例 3）讨论等比级数等比级数(又称为几何级数几何级数)LLnnnaqaqaqaaq20)0(a的收敛性. 注注：几何级数是收敛级数中最著名的一个级数阿贝尔曾经指出“除了几何级数之外， 数学

4、中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数” 几何级数在判断无穷级数的收敛 性、求无穷级数的求和以及将一个函数展开为无穷级数等方面都有广泛而重要的应用. 几何级数的增长速度令人震惊. 有一个关于古波斯国王的传说，他对一种新近发明的 象棋游戏留下深刻印象，以至于他要召见那个发明人而且以皇宫的财富相赠. 当这个发明 人一个贫困但却十分精通数学的农民被国王召见时，他只要求在棋盘的第一个方 格里放一粒麦粒，第二个方格里放两粒麦粒，第三个方格里放四里麦粒，如此继续下去， 直到整个棋盘都被覆盖上为止. 国王被这种朴素的要求所震惊，他立即命令拿来一袋小麦， 他的仆人们开始耐心地在棋盘上放置麦粒，令他们十分

5、吃惊的是，他们很快就发现袋子里的麦粒甚至整个王国的麦粒也不足以完成这项任务，因为级数的第 64 项是L,2 ,2 ,2 , 2 , 1432一个十分大的一个数：9223372036854775808. 如果我们设法把如此多的麦粒假632 设每个麦粒直径仅一毫米放在一条在直线上，这条线将长约两光年. 线性运算性质的应用：例例 4（讲义例（讲义例 4）求）求级数的和. 1) 1(3 21nnnn例例 5（讲义例（讲义例 5）证明调和级数 是发散的.LLn1 31 211注：注：当越来越大时，调和级数的项变得越来越小，然而,慢慢地非常漫漫地n 它的和将增大并超过任何有限值. 调和级数的这种特性使一代

6、又一代的数学家困惑并为之 着迷. 它的发散性是由法国学者尼古拉. 奥雷姆（1323-1382）在极限概念被完全理解之前 约 400 年首次证明的. 下面的数字将有助于我们更好地理解这个级数. 这个级数的前一千项相加约为；前一百万项相加约为；前十亿项相加约为；前一万亿项相加485. 7357.1421约为等等. 更有学者估计过，为了使调和级数的和等于 100，必须把项加起来，如284310果我们试图在一个很长的纸带上写下这个级数，直到它的和超过 100，即使每个项只占 1毫米长的纸带，也必须使用毫米长的纸带，这大约为光年. 但是宇宙的已知尺寸43102510估计只有光年. 调和级数的某些特性至今仍未得到解决.1210课堂练习课堂练习1.判别级数的敛散性.1)122(nnnn2.判别级数的敛散性.1211nnn3. 判断级数的敛散性.11) 1() 1(nnnn