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1、PartPart 1 1：人教版八年级上册数学分析：人教版八年级上册数学分析执笔人：武汉市翠微中学执笔人：武汉市翠微中学 陈浩陈浩 430050430050 QQQQ：442052942442052942第第 11 章章 全等三角形全等三角形 分析分析一、教科书内容和课程学习目标【目标】本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质。第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。在第三节，利用三角形全等的判定方法证明了角平分线的
2、性质，并利用角的平分线的性质进行证明。【地位】通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识（如两个三角形满足一定的条件就完全一样了，角的平分线上的一点到角的两边的距离相等） ，同时为学习其他图形知识打好基础。全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容。也是武汉市中考中的重要内容，在武汉市中考中的地位也越来越突出。【重、难点】从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。这既是本章的重点，也是教学的难点。教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什
3、么是三角形的判定，怎样判定。在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程。 “边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。在“三角形全等的判定”一节中，得出如下结论：三边对应相等的两个三角形全等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。用这些结论可以判定两个三角形全等。三角形全等的这些判定方法都是可以证明的，都可以作为定理处理。但是，这些定理（除“边边边”定理外）的证明方法都比较特殊。学生开始学习这些判定定理时，掌握定理的内容并不困难，困难的是定理的证明，而这些特殊的证明方法，在正式学习推理
4、证明的开始阶段，并不要求学生掌握。所以为了突出重点，突出判定方法这条主线，本章中上述判定方法都是作为基本事实（公理）提出来的，通过画图和实验，使学生确信它们的正确性。值得注意的是，本节中的另一个判定方法“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等” ，则是利用“两角和它们的夹边C CD DB BA Ay y0 0x xC CD DB BA Ay y0 0x x对应相等的两个三角形全等”证明的。运用三角形全等的条件可以判定两个直角三角形全等。还可以利用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等” （HL）判定两个直角三角形全等。本章中这个判定方法是作为基本事实（公理）提出来的，也是通过
5、画图和实验，使学生确信它的正确性。在“角的平分线的性质”一节中，介绍了角的平分线的作法，以及“角的平分线上的点到角的两边的距离相等” “角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”两个结论。教科书用三角形全等证明了前一个结论，并结合证明过程总结了证明一个几何命题的一般步骤。这两个结论是互逆定理。为了保证学生在本章学好简单证明的重点，本章暂不介绍互逆命题、互逆定理等内容，这些内容在八年级下册“勾股定理”一章中介绍。本节例题让学生证明三角形两条对角线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点。这也为学生今后在“圆”一章学习内心作好
6、了准备。得到：角平分线时的辅助线的方法（定理）与如何证明角平分线的方法（逆定理）举例：例 1（2006 年黄陂区期中考试题、定理）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，O 为五个旅游城镇，他们之间都有笔直的公路相通，OC 平分AOB，公路AO 所在的直线的解析式为，公路 AB 所在的直线的解析式为，xy43320 34xy（1）求出 A 城镇的坐标；（2）有公汽行驶在城镇之间，其票价与路程成正比，已知各城镇间的公汽票价如下：OA ：4 元 ； A B ：3 元O B ：5 元； O D ：4 元现将举办一个绕 B，C，D 三城的“环行一周游”旅游项目，按上述标准能否确定此项目的公汽的票价
7、？若能，求出其票价；若不能，试说明理由。例 2（2008 年汉阳区期中考试第 16 题、定理）如图，AOCBOC15，DCx 轴，CBx 轴于点 B，点 D、B 的横坐标分别为 2+，4+，则点 C 的坐标为 .33OyxABCD例 3（2008 年汉阳区期中考试题第 22 题）如下图，点 P 为ABC 角平分线上的一点，D 点和 E 点分别在 AB 和 BC 上，且 PDPE，试探究BDP 与BEP 的数量关系，并给予证明 （BDP+BEP=180）21EABCPD变式 1：若在 BC 上截取 BQ=BD，求证：PQ=PE变式 2：过 P 作 PABA，试写出 BE、BD、BA 之间的数量关
8、系；（BD+BE=2BA）例 4（2008硚口区期中考试题、逆定理）没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？如图 11，是小红的做法，他的画法正确吗？请用全等三解形的知识来说明理由.利用三角板的刻度尺在AOB 的两边上，分别取 OM=ON.分别过 M、N 画 OM、ON 的垂线，交点为 P.画射线 OP.所以射线 OP 为AOB 的角平分线.例 5（2009湖南怀化市中考试题）如图 9，P 是BAC 内的一点，PEABPFAC，垂足分别为点EF，AFAE 求证：（1）PFPE ；（2）点 P 在BAC 的角平分线上 【简而言之】本章的学习目标如下：1了解全等三角形的概念和性质，
9、能够准确地辨认全等三角形中的对应元素。例 6 （2009海南省中考卷第 5 题）已知图 2 中的两个三角形全等，则度数是（ ）图 11A.72 B.60 C.58 D.502探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。3了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。二、本章编写特点（一）注重探索结论（一）注重探索结论在“三角形全等的判定”一节设计了 8 个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想：探究 1：两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定
10、全等；探究 2：三边对应相等，两个三角形是否一定全等；（SSS）探究 3：两边及其夹角对应相等，两个三角形是否一定全等；（SAS）探究 4：两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形是否一定全等；（SSA）探究 5：两角和它们的夹边对应相等，两个三角形是否一定全等；（ASA）探究 6：两角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形是否一定全等；（AAS）探究 7：三个角对应相等，两个三角形是否一定全等；（AAA）探究 8：斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形是否一定全等。(HL)探究 27 让学生探索两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等。总的发展
11、脉络是三边，两边一角（包括探究 3，探究 4两种情况） ，一边两角（包括探究 5，探究 6 两种情况） ，三个角，这样学生容易把握探索的过程。探究 1、 （两个条件不可） ，探究 4、 （SSA） ，探究 7（AAA）是不一定能判定全等的情况，探究 2、探究 3、探究 5、探究 6 是能判定全等的情况。其中应该记住（SSA） ，探究7（AAA）的两个特例。例 7 （2009江苏省）如图，给出下列四组条件：；ABDEBCEFACDF，ABDEBEBCEF ，；BEBCEFCF ，其中，能使的条件共有（ ABDEACDFBE ，ABCDEF）A1 组B2 组 C3 组 D4 组（二）注重推理能力的
12、培养（二）注重推理能力的培养证明是数学的最高境界目前再不是七年级的说点理了，本章开始要求学生严格的进行证明，为了解决这个难点，教科书做了一些努力。1注意减缓坡度，循序渐进。开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步做准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。2在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问
13、题，从而熟悉证明的步骤和方法。在此之后安排的问题涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生分析问题、根据需要选择有关的结论去证明的能力。3注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。例如，在“三角形全等的判定”一节证明例 1 的结论“ABDACD”以前，首先指出证题的思路：“要证ABDACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等。”为了清楚地表达上述思考过程，引入“” “”及综合法证明的格式，把证明的过程简明地表达出来。（三）注重联系实际在“全等三角形”一节，教科书从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子。这样做既可以使学生易于理解相关概念，也可以调动
14、他们学习的积极性。又如，从分析平分角的仪器的原理引入角的平分线的画法。再如，通过确定集贸市场的位置的问题引ll21ABCDEFFEDCBA出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。用三角形全等可以说明实际测量方法的道理，教科书在例题和习题中安排了测量池塘两端的距离、测量河两岸相对两点的距离、用卡钳测量工件的内槽宽等内容，还安排了利用三角形全等测量旗杆高度的数学活动。三、几个值得关注的问题（一）关于内容之间的联系在“全等三角形”一节，让学生通过观察、思考得出平移、翻折、旋转（全等变换）前后的图形全等的结论。这样处理一方面可以复习巩固全等三角形的概念
15、，另一方面也使学生在某些情况下容易找到全等三角形的对应元素。透透视视全等三角形的三大全等三角形的三大类类型型武汉市翠微路中学 陈 浩 （430050） （本文发表在中学生天地2007 年第 3 期上）与“三角形全等”有关的问题林林总总，习题又可变式发散，这样题量就千千万万，浩瀚无边，但其类型不外乎以下几种，抓住了全等三角形的几种类型，就抓住了问题的精髓，从而发现证明“全等”问题的方向现分类透视，供同学们学习时参考一、平移型全等三角形把ABC 沿着某一条直线 l 平行移动，所得DEF 与ABC 称为平移型全等三角形有时这条直线就是ABC 的某一条边所在直线下图 1，图 2 是常见的平移型全等三角形lBADCE6lECDAB7lDCBA4lDCABE5在证明平移型的全等型试题中，常常要碰到移动方向上的边的加（减）公共边，为边长相等创立条件如图 1，若 BEFC，则 BEECFCEC，即：BCFE如图 2，若BEFC，则 BEECFCEC，即：BCFE例 1 如图 3，ABC 中，A90，ADBC 于 D 点，C 的平分线 CE 交 AB、AD于 E、G，过 G 作 FGBC 交 AB 于 F 点试说明：AEBFH3GFEDCBA提示：过 E 点作 EHBC 于 H 点证AFGBEH，得B
