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1、12017 年高考备考：高中数学易错点梳理年高考备考：高中数学易错点梳理一、集合与简易逻辑一、集合与简易逻辑 易错点易错点 1 对集合表示方法理解存在偏差对集合表示方法理解存在偏差【问题】1: 已知，求。 |0,1Ax xBy yABI错解：AB I剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。正确结果：ABBI【问题】2: 已知，求。22 |2,( , )|4Ay yxBx yxyABI错解： (0,2),( 2,0)AB I正确答案：AB I剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为为点集。A 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法， 忽视
2、集合的代表元素。 易错点易错点 2 在解含参数集合问题时忽视空集在解含参数集合问题时忽视空集【问题】: 已知，且，求 的取值范围。2 |2, | 21AxaxaBxx BAa错解：-1，0） 剖析：忽视的情况。A 正确答案：-1，2反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题BAA 结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情 况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 易错点易错点 3 在解含参数问题时忽视元素的互异性在解含参数问题时忽视元素的互异性【
3、问题】: 已知 1, ，求实数的值。2a2(1)a233aaa错解： 2, 1,0a 剖析：忽视元素的互异性，其实当时，=1；当时， =1；均2a 2(1)a233aa1a 2a233aa不符合题意。正确答案：0a 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数 的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。 易错点易错点 4 命题的否定与否命题关系不明命题的否定与否命题关系不明【问题】: 写出“若，则”的否命题。aMaP或aMPI错解一：否命题为“若，则”aMaP或aMPI2剖析：概念模糊，弄错两类命
4、题的关系。错解二：否命题为“若，则”aMaP或aMPI剖析：知识不完整，的否定形式应为。aMaP或aMaP且正确答案：若，则aMaP且aMPI反思：命题的否定是命题的非命题，也就是“保持原命题的条件不变，否定原命题的结论作为结论”所得的命题，但 否命题是“否定原命题的条件作为条件，否定原命题的结论作为结论”所得的命题。对此。考生可能会犯两类错误 概念不清，不会对原命题的条件和结论作出否定；审题不够细心。 易错点易错点 5 充分必要条件颠倒出错充分必要条件颠倒出错【问题】:已知是实数，则“且”是“且”的 , a b0a 0b 0ab0ab A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要
5、条件 D 既不充分也不必要条件 错解：选 B剖析：识记不好，不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充要条件的方法。正确答案：C反思：对于两个条件，如果，则是的充分条件，是的必要条件，如果，则是的,A BABABBAABAB充要条件。判断充要条件常用的方法有定义法；集合法；等价法。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与 必要性，所以在解决这类问题时，一定要分清条件和结论，根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断， 不充分不必要常借助反例说明。 易错点易错点 6 对逻辑联结词及其真值表理解不准对逻辑联结词及其真值表理解不准【问题】: 命题 p：若 a、bR，则是的充分而不必要条件；命题 q：
6、函数 y=2|1|x的定1ab1ab义域是（，13，+)，则A“”为假 B“”为真 C D pq或pq且pq真假pq假真错解一：选或 AB剖析：对真值表记忆不准，本题中，因此“”为真，而“”为假。pq假真pq或pq且错法二：选 C 剖析：基础不牢，在判断命题真假时出错。, p q 正确答案：D 反思：含逻辑联结词“或”、 “且”、 “非”的命题称为复合命题。在判断复合命题真假时，常常因为对概念理解不准确或真 值表记不清而出现错误。为此准确理解概念、巧记真值表是解题的关键。这里介绍一种快速记忆真值表的方法：“”有真则真；有真则真；“”有假则假；有假则假；“”真假相反。真假相反。pq或pq且p非易
7、错点易错点 7 否定全称、特称命题出错否定全称、特称命题出错 【问题】写出下列命题的否定：对任意的正整数 x, ；p2xx q：存在一个三角形，它的内角和大于；0180 r:三角形只有一个外接圆。3错解：对任意的正整数 x, ；p2xx：所有的三角形的内角和小于；q0180存在一个三角形有且只有一个外接圆。:r 剖析：知识欠缺，基础不牢导致出错。正确答案：存在正整数 x, 使；p2xx：所有的三角形的内角和都不大于；q0180存在一个三角形至少有两个外接圆。:r反思：全称命题，它的否定，特称命题，它的否定:, ( )pxM p x :,( )pxMp x :, ( )pxM p x 。一般来说
8、，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。切记对全称、特称命:,( )pxMp x 题的否定，不仅要否定结论，而且还要对量词“”进行否定。另外，对一些省略了量词的简化形式，应先( )p x和将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。 二、函数与导数二、函数与导数 易错点易错点 8 求函数定义域时条件考虑不充分求函数定义域时条件考虑不充分【问题】: 求函数 y=+的定义域。 2231xx0(1)x错解：-3，1 剖析：基础不牢，忽视分母不为零；误以为=1 对任意实数成立。0(1)x正确答案：3, 11,1U反思：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此求定义域时就要根据
9、函数解析式把各种情况下的自变 量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数定义域。在求函数的定义域时应注意以下几点 分式的分母不为零；偶次根式被开方式非负；对数的真数大于零；零的零次幂没有意义；函数的定义域是 非空的数集。易错点易错点 9 求复合函数定义域时忽视求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域内层函数的值域是外层函数的定义域”【问题】已知函数求函数的值域。 ,9 , 1, 2log3xxxf 22xfxfy错解：设，。3logtx1,9 ,0,2xt Q266ytt0,2tQ6,22函数的值域是剖析：知识欠缺，求函数定义域时，应考虑. 22xfxfy219
10、 19x x 正确答案：6,13函数的值域是反思：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：若已知的定义域为,其复合函数的定义域可由不等式解出即可；若已知( )f x, a b ( )f g x( )ag xb4的定义域为 ,求的定义域，相当于 xa,b时，求的值域（即 的定义域） 。 ( )f g x, a b( )g x( )g x( )f x易错点分析易错点分析 10 判断函数奇偶性时忽视定义域判断函数奇偶性时忽视定义域【问题】1: 判断函数的奇偶性。2(1)(1) (1)xxyx x错解：原函数即，为奇函数 21xyx剖析：只关注解析式化简，忽略定义域。
11、正确答案：非奇非偶函数。【问题】2: 判断函数的奇偶性。22( )11f xxx 错解：，为偶函数 ()( )fxf xQ剖析：不求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一结论，导致错误。 正确答案：既奇且偶函数。 反思：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意 x 都有，则为奇函数；如果对定义域内任意()( )fxf x ( )f xx 都有，则为偶函数，如果对定义域内存在使，则不是奇函数；如()( )fxf x( )f x0x00()()fxf x ( )f x果对定义域内存在使，则不是偶函
12、数。0x00()()fxf x( )f x易错点易错点 11 求复合函数单调区间时忽视定义域求复合函数单调区间时忽视定义域【问题】: 求函数的增区间。2 0.5log(43)yxx错解一：外层函数为减函数，内层函数减区间为，原函数增区间为。243uxx3 ,)23 ,)2剖析：基础不牢，忽视定义域问题错解二：，函数定义域为，又内层函数在 为增函数，在为2430xx1,4243uxx3( 1, 23 ,)2减函数，原函数增区间为。3( 1, 2剖析：识记不好，对复合函数单调性法则不熟练。正确答案：3 ,4)2 反思：求复合函数单调区间一般步骤是求函数的定义域；作出内层函数的图象；用“同增异减”法
13、则写单调区 间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错。 易错点易错点 12 解解“二次型函数二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论问题时忽视对二次项系数的讨论【问题】: 函数的图象与轴只有一个交点，求实数 m 的取值范围。2( )(1)2(1)1f xmxmxx错解：由解得 0 03mm 或5剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑的情况。10m 正确答案：3,0,1反思：在二次型函数中，当时为二次函数，其图象为抛物线；当时为一次函数，2yaxbxc0a 0,0ab其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意项的系数是否为 0，若不能确定，应分类
14、讨论，另外有关三个“二2x次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如：解集为20axbxcR0,0a 或a=b=0, c0解集为20axbxc0,0a 或a=b=0, c0易错点易错点 13 用函数图象解题时作图不准用函数图象解题时作图不准【问题】: 求函数的图象与直线的交点个数。2( )f xx( )2xf x 错解：两个 剖析：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。 正确答案：三个 反思：“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但 我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。
15、 易错点易错点 14 忽视转化的等价性忽视转化的等价性【问题】1: 已知方程有且只有一个根在区间（0，1）内，求实数 m 的取值范围。2310mxx 错解：方程有且只有一个根在区间（0，1）内，函数的图象与轴在2310mxx 231ymxxx（0，1）内有且只有一个交点，解得 (0) (1)0ff2m 剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到=0 情况。 正确答案：mb,c0a c b c；a b,c0 时，动直线在 y 轴上的截距越大，目标函数: l AxByt22值越大，截距越小，目标函数值越小；反之，当 B =36|DAMNDAMN DAuuu r可能出现的错误为：;6 36 3正确答案：3 3反思：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为a，平面的法向量为nr ，则 sin=|cos|。容易出错的是误以为直线的方向向量
