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1、1动点轨迹的求法动点轨迹的求法从近年高考题说起：从近年高考题说起：1、 （15 年广东理科）已知过原点的动直线l与圆22 1:650Cxyx+-+ =相交于不同的两点A，B.（1）求圆1C的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线:(4)L yk x=-与曲线C只有一个交点：若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】 （1）由22650xyx得2234xy， 圆1C的圆心坐标为3,0；（2）设,M x y，则 点M为弦AB中点即1C MAB， 11C MABkk 即13yy xx ， 线段AB的中点M的轨迹的方程为2 239 5324 3xy
2、x；（3）由（2）知点M的轨迹是以3,02C为圆心3 2r 为半径的部分圆弧EF（如下图所示，不包括两端点） ，且5 2 5,33E ，52 5,33F，又直线L：4yk x过定点4,0D，当直线L与圆C相切时，由 2234023 21kk 得3 4k ，又2 5032 5 5743DEDFkk ，结合上图可知当3 32 5 2 5,4 477k U时，直线L：4yk x与曲线C只有一个交点2 2、 （2013 上海）已知抛物线 的焦点为.点满足.当点在抛物线上运24C yx：F A P、2APFA uuu ruu u r AC动时,求动点的轨迹方程。P解：设动点的坐标为,点的坐标为,则, P
3、( )x y，A( )AAxy，( )AAAPxxyyuuu r，因为的坐标为,所以, 由得. F(1 0)，(1 )AAFAxyuu u r，2APFA uuu ruu u r ( )2(1 )AAAAxxyyxy ，即 解得 2(1)2AAAAxxxyyy 2AAxxyy 代入,得到动点的轨迹方程为. 24yxP284yxLDxyOCEF23 3、 （2013 年高考新课标 1（理） ）已知圆M:22(1)1xy,圆N:22(1)9xy,动圆P与M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C. ()求 C 的方程;()l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆
4、P 的半径最长时,求|AB|. 解：由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径1r=1,圆N的圆心为N(1,0),半径2r=3. 设动圆P的圆心为P(x,y),半径为 R. ()圆P与圆M外切且与圆N内切,|PM|+|PN|=12()()RrrR=12rr=4, 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左右焦点,场半轴长为 2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为22 1(2)43xyx . ()对于曲线 C 上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=22R2,R2, 当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 当圆 P 的半径最长时,其方程为22(2)4xy, 当l的倾斜角
5、为090时,则l与y轴重合,可得|AB|=2 3. 当l的倾斜角不为090时,由1rR 知l不平行x轴,设l与x轴的交点为 Q,则| |QP QM=1R r,可求得 Q(-4,0),设l:(4)yk x,由l于圆 M 相切得 2|3 |1 1kk ,解得2 4k . 当k=2 4时,将224yx代入22 1(2)43xyx 并整理得27880xx,解得1,2x=46 2 7 ,|AB|=2 121|kxx=18 7. 当k=-2 4时,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|=2 3. 动点轨迹常用求法：动点轨迹常用求法：一、待定系数法一、待定系数法 它常常适用于
6、动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步 骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。1、已知椭圆2222:1(0)xyCabab 的离心率为3 3，过右焦点 F 的直线l与C相交于A、B两点，3当l的斜率为 1 时，坐标原点O到l的距离为2 2，求椭圆方程。解：设,0 , cF 当l的斜率为 1 时，其方程为Ocyx, 0到l的距离为 2200cc，故222c， 1c ， 由 33ace ，得 3a，22cab=22、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为 2，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半13长轴比双曲线的半实轴大 4，椭圆的离
7、心率和双曲线的离心率之比为。求椭圆和双曲线的方程。73解：如果双曲线和椭圆的焦点在 x 轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在 x 轴上，那么可设椭圆方程为+= 1，双曲线的方程为= 1。2c = 2 , c = .22ax22by22mx22nyQ1313a m = 4 , : = , a = 7 , m = 3 .Qmc nc 73b = a c = 36 , n = c m = 4 .Q222222椭圆方程为+= 1，双曲线的方程为= 1 ；492x 362y 92x 42y如果双曲线和椭圆的焦点在 y 轴上，同理可得：椭圆方程为+= 1，双曲线的方程为= 1 。492y 362x 92y
8、42x二、直接法二、直接法 该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、 化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。3、已知直角坐标系中，点 Q（2，0） ，圆 C 的方程为，动点 M 到圆 C 的切线长与的比等122 yxMQ于常数，求动点 M 的轨迹。)0(解：设 MN 切圆 C 于 N，则。设,则222ONMOMN),(yxM化简得2222)2(1yxyx0)41 (4)(1(22222xyx（1）当时，方程为，表示一条直线。145x（2）当时，方程化为表示一个圆。1222 22 22) 1(31)12( yxMNQO44、已知动圆过定点 A(4,
9、0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.求动圆圆心的轨迹 C 的方程。 解：如图，设动圆圆心 O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|，当 O1不在 y 轴上时，过 O1作 O1HMN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点，又，22 1|4O Mx22 1|4O Axy ，化简得 y28x(x0)222244xyx 当 O1在 y 轴上时，O1与 O 重合，点 O1的坐标(0,0)也满足方程 y28x， 动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28x.5 5、已知点、动点满足，则点的轨迹 为（ ） )0 , 2(A).0 , 3(B),(yxP2xPBPAPA圆 B椭圆 C双曲线 D抛物
10、线解： ，),3(),2(yxPByxPA2)3)(2(yxxPBPA. 由条件，整理得，此即点的轨迹方程，所以226yxx2226xyxx62 xyP的轨迹为抛物线，选 D.P6、已知点，圆:，过点的动直线 与圆交于两点，线段的中点)2 , 2(PC0822yyxPlCBA,AB为，为坐标原点.求的轨迹方程；MOM圆 C 的方程可化为，所以圆心为，半径为 4，22(4)16xy(0,4)C设，则，( , )M x y( ,4)CMx yuuu u r (2,2)MPxyuuu r由题设知，故，即.0CMMPuuu u ruuu r (2)(4)(2)0xxyy22(1)(3)2xy由于点 P
11、 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是. 22(1)(3)2xy三、代入法（相关点法）三、代入法（相关点法）若动点 P(x, y)依赖于某已知曲线上的另一个动点 P (x ,y )而运动，且 x , y 可用 x, y 表示，则11111将 P (x ,y )代入已知曲线，求出 P 点的轨迹方程。此法也称代入法或转移法。111.,4) 1(),3 , 4(722的轨迹方程的中点求线段上运动在圆端点的端点、已知线段MAByxABAB8、自抛物线上任意一点 P 向其准线 引垂线。垂足为 Q，连接顶点 O 与 P 的直线和连接焦点 Fxy22l与 Q 的直线交与 R，求 R 点的轨迹方程。解：设
12、则、),(),(11yxRyxP),21(1yQ )0 ,21(F的方程为：，的方程为：，解方程组得OPxxyy11FQ)21(1xyy5，代人，可得)21(212,21211xxyyxxxxy22)21(222xxxy9、如图所示，已知 P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 解头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头
13、头 头 设 AB 的中点为 R，坐标为(x,y)，则在 RtABP 中，|AR|=|PR|头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 在 RtOAR 中，|AR|2 =|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=22)4(yx所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0 因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹 上运动头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 设 Q(x,y)，R(x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1=,20,24 1yyx代入方程 x2+y24x10=0,得10=0，整理得头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头
